Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40212 / 32004
↖ ↑ ↗
← N 67.335628°
W 69.554444°		 ← 117.69 m → N 67.335628°
W 69.551697°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
N 67.334570°
W 69.554444°		 ← 117.70 m →
13 849 m²		 N 67.334570°
W 69.551697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306797027587891 y=0.244174957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306797027587891 × 217)
    floor (0.306797027587891 × 131072)
    floor (40212.5)     		tx = 40212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244174957275391 × 217)
    floor (0.244174957275391 × 131072)
    floor (32004.5)     		ty = 32004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40212 / 32004 ti = "17/40212/32004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40212/32004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40212 ÷ 217
    40212 ÷ 131072     		x = 0.306793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32004 ÷ 217
    32004 ÷ 131072     		y = 0.244171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306793212890625 × 2 - 1) × π
    -0.38641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21395405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244171142578125 × 2 - 1) × π
    0.51165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60742011805972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21395405} λ = -1.21395405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60742011805972))-π/2
    2×atan(4.98992120002071)-π/2
    2×1.37301236800468-π/2
    2.74602473600937-1.57079632675     		φ = 1.17522841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21395405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.554444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17522841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.335628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40212 KachelY 32004 -1.21395405 1.17522841 -69.554444 67.335628
    Oben rechts KachelX + 1 40213 KachelY 32004 -1.21390611 1.17522841 -69.551697 67.335628
    Unten links KachelX 40212 KachelY + 1 32005 -1.21395405 1.17520994 -69.554444 67.334570
    Unten rechts KachelX + 1 40213 KachelY + 1 32005 -1.21390611 1.17520994 -69.551697 67.334570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17522841-1.17520994) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dl = 117.672369999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17522841-1.17520994) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dr = 117.672369999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21395405--1.21390611) × cos(1.17522841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385332311974609 × 6371000     		do = 117.690406530679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21395405--1.21390611) × cos(1.17520994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385349355616261 × 6371000     		du = 117.695612097542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17522841)-sin(1.17520994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385332311974609-0.385349355616261)×R²
    abs(-1.21390611--1.21395405)×1.70436416514486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70436416514486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70436416514486e-05×40589641000000     		ar = 13849.2153388414m²