Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40210 / 41141
↖ ↑ ↗
← S 41.726231°
E 40.880127°		 ← 455.90 m → S 41.726231°
E 40.885620°		 →
↑
455.85 m
↓
↑
455.85 m
↓
S 41.730330°
E 40.880127°		 ← 455.87 m →
207 813 m²		 S 41.730330°
E 40.885620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613563537597656 y=0.627769470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613563537597656 × 216)
    floor (0.613563537597656 × 65536)
    floor (40210.5)     		tx = 40210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627769470214844 × 216)
    floor (0.627769470214844 × 65536)
    floor (41141.5)     		ty = 41141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40210 / 41141 ti = "16/40210/41141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40210/41141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40210 ÷ 216
    40210 ÷ 65536     		x = 0.613555908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41141 ÷ 216
    41141 ÷ 65536     		y = 0.627761840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613555908203125 × 2 - 1) × π
    0.22711181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71349281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627761840820312 × 2 - 1) × π
    -0.255523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.80275132103746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71349281} λ = 0.71349281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80275132103746))-π/2
    2×atan(0.448094414984776)-π/2
    2×0.42126811051902-π/2
    0.84253622103804-1.57079632675     		φ = -0.72826011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71349281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.880127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72826011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.726231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40210 KachelY 41141 0.71349281 -0.72826011 40.880127 -41.726231
    Oben rechts KachelX + 1 40211 KachelY 41141 0.71358869 -0.72826011 40.885620 -41.726231
    Unten links KachelX 40210 KachelY + 1 41142 0.71349281 -0.72833166 40.880127 -41.730330
    Unten rechts KachelX + 1 40211 KachelY + 1 41142 0.71358869 -0.72833166 40.885620 -41.730330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72826011--0.72833166) × R
    7.15500000000313e-05 × 6371000     		dl = 455.845050000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72826011--0.72833166) × R
    7.15500000000313e-05 × 6371000     		dr = 455.845050000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71349281-0.71358869) × cos(-0.72826011) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.74633355366661 × 6371000     		do = 455.898955831137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71349281-0.71358869) × cos(-0.72833166) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746285930072162 × 6371000     		du = 455.869864887986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72826011)-sin(-0.72833166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74633355366661-0.746285930072162)×R²
    abs(0.71358869-0.71349281)×4.76235944478764e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76235944478764e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76235944478764e-05×40589641000000     		ar = 207812.651923267m²