Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40208 / 9520
↖ ↑ ↗
← N 77.711590°
E 40.869141°		 ← 130 m → N 77.711590°
E 40.874634°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 77.710421°
E 40.869141°		 ← 130.01 m →
16 904 m²		 N 77.710421°
E 40.874634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613533020019531 y=0.145271301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613533020019531 × 216)
    floor (0.613533020019531 × 65536)
    floor (40208.5)     		tx = 40208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145271301269531 × 216)
    floor (0.145271301269531 × 65536)
    floor (9520.5)     		ty = 9520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40208 / 9520 ti = "16/40208/9520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40208/9520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40208 ÷ 216
    40208 ÷ 65536     		x = 0.613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9520 ÷ 216
    9520 ÷ 65536     		y = 0.145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613525390625 × 2 - 1) × π
    0.22705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71330107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    0.70947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22887408473413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71330107} λ = 0.71330107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22887408473413))-π/2
    2×atan(9.28940111073372)-π/2
    2×1.46355972279565-π/2
    2.92711944559129-1.57079632675     		φ = 1.35632312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71330107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.869141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35632312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.711590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40208 KachelY 9520 0.71330107 1.35632312 40.869141 77.711590
    Oben rechts KachelX + 1 40209 KachelY 9520 0.71339694 1.35632312 40.874634 77.711590
    Unten links KachelX 40208 KachelY + 1 9521 0.71330107 1.35630271 40.869141 77.710421
    Unten rechts KachelX + 1 40209 KachelY + 1 9521 0.71339694 1.35630271 40.874634 77.710421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35632312-1.35630271) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35632312-1.35630271) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71330107-0.71339694) × cos(1.35632312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212832734195435 × 6371000     		do = 129.995631102229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71330107-0.71339694) × cos(1.35630271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212852676530422 × 6371000     		du = 130.007811636545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35632312)-sin(1.35630271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212832734195435-0.212852676530422)×R²
    abs(0.71339694-0.71330107)×1.99423349873107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99423349873107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99423349873107e-05×40589641000000     		ar = 16904.3981337858m²