Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40206 / 9470
↖ ↑ ↗
← N 77.769910°
E 40.858154°		 ← 129.39 m → N 77.769910°
E 40.863647°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
N 77.768746°
E 40.858154°		 ← 129.40 m →
16 743 m²		 N 77.768746°
E 40.863647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613502502441406 y=0.144508361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613502502441406 × 216)
    floor (0.613502502441406 × 65536)
    floor (40206.5)     		tx = 40206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144508361816406 × 216)
    floor (0.144508361816406 × 65536)
    floor (9470.5)     		ty = 9470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40206 / 9470 ti = "16/40206/9470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40206/9470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40206 ÷ 216
    40206 ÷ 65536     		x = 0.613494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9470 ÷ 216
    9470 ÷ 65536     		y = 0.144500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613494873046875 × 2 - 1) × π
    0.22698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71310932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144500732421875 × 2 - 1) × π
    0.71099853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23366777469614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71310932} λ = 0.71310932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23366777469614))-π/2
    2×atan(9.33403852307039)-π/2
    2×1.46406865696238-π/2
    2.92813731392476-1.57079632675     		φ = 1.35734099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71310932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.858154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35734099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.769910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40206 KachelY 9470 0.71310932 1.35734099 40.858154 77.769910
    Oben rechts KachelX + 1 40207 KachelY 9470 0.71320519 1.35734099 40.863647 77.769910
    Unten links KachelX 40206 KachelY + 1 9471 0.71310932 1.35732068 40.858154 77.768746
    Unten rechts KachelX + 1 40207 KachelY + 1 9471 0.71320519 1.35732068 40.863647 77.768746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35734099-1.35732068) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35734099-1.35732068) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71310932-0.71320519) × cos(1.35734099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211838074890742 × 6371000     		do = 129.388105363606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71310932-0.71320519) × cos(1.35732068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2118579239071 × 6371000     		du = 129.400228900045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35734099)-sin(1.35732068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211838074890742-0.2118579239071)×R²
    abs(0.71320519-0.71310932)×1.98490163582643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98490163582643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98490163582643e-05×40589641000000     		ar = 16742.9595507415m²