Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 40206 / 32006
↖ ↑ ↗
← N 67.333511°
W 69.570923°		 ← 117.70 m → N 67.333511°
W 69.568176°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
N 67.332453°
W 69.570923°		 ← 117.71 m →
13 850 m²		 N 67.332453°
W 69.568176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306751251220703 y=0.244190216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306751251220703 × 217)
    floor (0.306751251220703 × 131072)
    floor (40206.5)     		tx = 40206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244190216064453 × 217)
    floor (0.244190216064453 × 131072)
    floor (32006.5)     		ty = 32006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40206 / 32006 ti = "17/40206/32006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40206/32006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40206 ÷ 217
    40206 ÷ 131072     		x = 0.306747436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32006 ÷ 217
    32006 ÷ 131072     		y = 0.244186401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306747436523438 × 2 - 1) × π
    -0.386505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.21424167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244186401367188 × 2 - 1) × π
    0.511627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60732424426048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21424167} λ = -1.21424167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60732424426048))-π/2
    2×atan(4.98944282024977)-π/2
    2×1.37299389555117-π/2
    2.74598779110235-1.57079632675     		φ = 1.17519146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21424167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.570923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17519146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.333511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40206 KachelY 32006 -1.21424167 1.17519146 -69.570923 67.333511
    Oben rechts KachelX + 1 40207 KachelY 32006 -1.21419373 1.17519146 -69.568176 67.333511
    Unten links KachelX 40206 KachelY + 1 32007 -1.21424167 1.17517299 -69.570923 67.332453
    Unten rechts KachelX + 1 40207 KachelY + 1 32007 -1.21419373 1.17517299 -69.568176 67.332453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17519146-1.17517299) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dl = 117.672369999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17519146-1.17517299) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dr = 117.672369999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21424167--1.21419373) × cos(1.17519146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38536640835409 × 6371000     		do = 117.700820442613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21424167--1.21419373) × cos(1.17517299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385383451732748 × 6371000     		du = 117.706025929152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17519146)-sin(1.17517299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38536640835409-0.385383451732748)×R²
    abs(-1.21419373--1.21424167)×1.70433786576552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70433786576552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70433786576552e-05×40589641000000     		ar = 13850.4407637945m²