Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40202 / 21256
↖ ↑ ↗
← N 76.346711°
W 69.581909°		 ← 72.08 m → N 76.346711°
W 69.579163°		 →
↑
72.12 m
↓
↑
72.12 m
↓
N 76.346062°
W 69.581909°		 ← 72.08 m →
5 198 m²		 N 76.346062°
W 69.579163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306720733642578 y=0.162174224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306720733642578 × 217)
    floor (0.306720733642578 × 131072)
    floor (40202.5)     		tx = 40202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162174224853516 × 217)
    floor (0.162174224853516 × 131072)
    floor (21256.5)     		ty = 21256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40202 / 21256 ti = "17/40202/21256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40202/21256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40202 ÷ 217
    40202 ÷ 131072     		x = 0.306716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21256 ÷ 217
    21256 ÷ 131072     		y = 0.16217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306716918945312 × 2 - 1) × π
    -0.386566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.21443341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16217041015625 × 2 - 1) × π
    0.6756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12264591517609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21443341} λ = -1.21443341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12264591517609))-π/2
    2×atan(8.35321015913128)-π/2
    2×1.45164890200076-π/2
    2.90329780400153-1.57079632675     		φ = 1.33250148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21443341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33250148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.346711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40202 KachelY 21256 -1.21443341 1.33250148 -69.581909 76.346711
    Oben rechts KachelX + 1 40203 KachelY 21256 -1.21438548 1.33250148 -69.579163 76.346711
    Unten links KachelX 40202 KachelY + 1 21257 -1.21443341 1.33249016 -69.581909 76.346062
    Unten rechts KachelX + 1 40203 KachelY + 1 21257 -1.21438548 1.33249016 -69.579163 76.346062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33250148-1.33249016) × R
    1.13199999998148e-05 × 6371000     		dl = 72.1197199988202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33250148-1.33249016) × R
    1.13199999998148e-05 × 6371000     		dr = 72.1197199988202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21443341--1.21438548) × cos(1.33250148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.236046001602947 × 6371000     		do = 72.0794862229031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21443341--1.21438548) × cos(1.33249016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.236057001705926 × 6371000     		du = 72.0828452366791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33250148)-sin(1.33249016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236046001602947-0.236057001705926)×R²
    abs(-1.21438548--1.21443341)×1.10001029794693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10001029794693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10001029794693e-05×40589641000000     		ar = 5198.47348976316m²