Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40201 / 9467
↖ ↑ ↗
← N 77.773401°
E 40.830688°		 ← 129.35 m → N 77.773401°
E 40.836181°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
N 77.772237°
E 40.830688°		 ← 129.36 m →
16 738 m²		 N 77.772237°
E 40.836181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613426208496094 y=0.144462585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613426208496094 × 216)
    floor (0.613426208496094 × 65536)
    floor (40201.5)     		tx = 40201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144462585449219 × 216)
    floor (0.144462585449219 × 65536)
    floor (9467.5)     		ty = 9467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40201 / 9467 ti = "16/40201/9467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40201/9467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40201 ÷ 216
    40201 ÷ 65536     		x = 0.613418579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9467 ÷ 216
    9467 ÷ 65536     		y = 0.144454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613418579101562 × 2 - 1) × π
    0.226837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71262995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144454956054688 × 2 - 1) × π
    0.711090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23395539609386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71262995} λ = 0.71262995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23395539609386))-π/2
    2×atan(9.33672357839795)-π/2
    2×1.46409911726306-π/2
    2.92819823452612-1.57079632675     		φ = 1.35740191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71262995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.830688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35740191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.773401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40201 KachelY 9467 0.71262995 1.35740191 40.830688 77.773401
    Oben rechts KachelX + 1 40202 KachelY 9467 0.71272582 1.35740191 40.836181 77.773401
    Unten links KachelX 40201 KachelY + 1 9468 0.71262995 1.35738160 40.830688 77.772237
    Unten rechts KachelX + 1 40202 KachelY + 1 9468 0.71272582 1.35738160 40.836181 77.772237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35740191-1.35738160) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35740191-1.35738160) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71262995-0.71272582) × cos(1.35740191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211778537090582 × 6371000     		do = 129.351740403416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71262995-0.71272582) × cos(1.35738160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21179838636902 × 6371000     		du = 129.363864099929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35740191)-sin(1.35738160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211778537090582-0.21179838636902)×R²
    abs(0.71272582-0.71262995)×1.98492784378168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98492784378168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98492784378168e-05×40589641000000     		ar = 16738.2541162567m²