Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40200 / 32024
↖ ↑ ↗
← N 67.314451°
W 69.587402°		 ← 117.79 m → N 67.314451°
W 69.584656°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
N 67.313392°
W 69.587402°		 ← 117.80 m →
13 876 m²		 N 67.313392°
W 69.584656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306705474853516 y=0.244327545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306705474853516 × 217)
    floor (0.306705474853516 × 131072)
    floor (40200.5)     		tx = 40200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244327545166016 × 217)
    floor (0.244327545166016 × 131072)
    floor (32024.5)     		ty = 32024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40200 / 32024 ti = "17/40200/32024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40200/32024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40200 ÷ 217
    40200 ÷ 131072     		x = 0.30670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32024 ÷ 217
    32024 ÷ 131072     		y = 0.24432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.3865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21452929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24432373046875 × 2 - 1) × π
    0.5113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60646138006732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21452929} λ = -1.21452929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60646138006732))-π/2
    2×atan(4.98513946556868)-π/2
    2×1.37282756991136-π/2
    2.74565513982272-1.57079632675     		φ = 1.17485881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21452929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.587402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17485881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.314451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40200 KachelY 32024 -1.21452929 1.17485881 -69.587402 67.314451
    Oben rechts KachelX + 1 40201 KachelY 32024 -1.21448135 1.17485881 -69.584656 67.314451
    Unten links KachelX 40200 KachelY + 1 32025 -1.21452929 1.17484032 -69.587402 67.313392
    Unten rechts KachelX + 1 40201 KachelY + 1 32025 -1.21448135 1.17484032 -69.584656 67.313392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17485881-1.17484032) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17485881-1.17484032) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21452929--1.21448135) × cos(1.17485881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385673344350999 × 6371000     		do = 117.794566596601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21452929--1.21448135) × cos(1.17484032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385690403813518 × 6371000     		du = 117.799776995565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17485881)-sin(1.17484032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385673344350999-0.385690403813518)×R²
    abs(-1.21448135--1.21452929)×1.7059462519009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7059462519009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7059462519009e-05×40589641000000     		ar = 13876.4821006203m²