Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40199 / 41186
↖ ↑ ↗
← S 41.910453°
E 40.819702°		 ← 454.59 m → S 41.910453°
E 40.825196°		 →
↑
454.57 m
↓
↑
454.57 m
↓
S 41.914541°
E 40.819702°		 ← 454.56 m →
206 636 m²		 S 41.914541°
E 40.825196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613395690917969 y=0.628456115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613395690917969 × 216)
    floor (0.613395690917969 × 65536)
    floor (40199.5)     		tx = 40199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628456115722656 × 216)
    floor (0.628456115722656 × 65536)
    floor (41186.5)     		ty = 41186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40199 / 41186 ti = "16/40199/41186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40199/41186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40199 ÷ 216
    40199 ÷ 65536     		x = 0.613388061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41186 ÷ 216
    41186 ÷ 65536     		y = 0.628448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613388061523438 × 2 - 1) × π
    0.226776123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71243820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.25689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.807065642003265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71243820} λ = 0.71243820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807065642003265))-π/2
    2×atan(0.446165356137251)-π/2
    2×0.419660461320184-π/2
    0.839320922640369-1.57079632675     		φ = -0.73147540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71243820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.819702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73147540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.910453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40199 KachelY 41186 0.71243820 -0.73147540 40.819702 -41.910453
    Oben rechts KachelX + 1 40200 KachelY 41186 0.71253408 -0.73147540 40.825196 -41.910453
    Unten links KachelX 40199 KachelY + 1 41187 0.71243820 -0.73154675 40.819702 -41.914541
    Unten rechts KachelX + 1 40200 KachelY + 1 41187 0.71253408 -0.73154675 40.825196 -41.914541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73147540--0.73154675) × R
    7.13500000000256e-05 × 6371000     		dl = 454.570850000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73147540--0.73154675) × R
    7.13500000000256e-05 × 6371000     		dr = 454.570850000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71243820-0.71253408) × cos(-0.73147540) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744189692192751 × 6371000     		do = 454.589374876388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71243820-0.71253408) × cos(-0.73154675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744142030757528 × 6371000     		du = 454.560260818143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73147540)-sin(-0.73154675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744189692192751-0.744142030757528)×R²
    abs(0.71253408-0.71243820)×4.76614352228344e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76614352228344e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76614352228344e-05×40589641000000     		ar = 206636.461425063m²