Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40190 / 21246
↖ ↑ ↗
← N 76.353192°
W 69.614868°		 ← 72.06 m → N 76.353192°
W 69.612122°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.352544°
W 69.614868°		 ← 72.06 m →
5 193 m²		 N 76.352544°
W 69.612122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306629180908203 y=0.162097930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306629180908203 × 217)
    floor (0.306629180908203 × 131072)
    floor (40190.5)     		tx = 40190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162097930908203 × 217)
    floor (0.162097930908203 × 131072)
    floor (21246.5)     		ty = 21246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40190 / 21246 ti = "17/40190/21246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40190/21246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40190 ÷ 217
    40190 ÷ 131072     		x = 0.306625366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21246 ÷ 217
    21246 ÷ 131072     		y = 0.162094116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306625366210938 × 2 - 1) × π
    -0.386749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.21500866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162094116210938 × 2 - 1) × π
    0.675811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12312528417229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21500866} λ = -1.21500866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12312528417229))-π/2
    2×atan(8.35721538901513)-π/2
    2×1.45170546539343-π/2
    2.90341093078686-1.57079632675     		φ = 1.33261460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21500866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.614868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33261460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.353192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40190 KachelY 21246 -1.21500866 1.33261460 -69.614868 76.353192
    Oben rechts KachelX + 1 40191 KachelY 21246 -1.21496072 1.33261460 -69.612122 76.353192
    Unten links KachelX 40190 KachelY + 1 21247 -1.21500866 1.33260329 -69.614868 76.352544
    Unten rechts KachelX + 1 40191 KachelY + 1 21247 -1.21496072 1.33260329 -69.612122 76.352544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33261460-1.33260329) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dl = 72.056010000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33261460-1.33260329) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dr = 72.056010000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21500866--1.21496072) × cos(1.33261460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235936076651257 × 6371000     		do = 72.0609508038596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21500866--1.21496072) × cos(1.33260329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235947067338775 × 6371000     		du = 72.0643076427281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33261460)-sin(1.33260329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235936076651257-0.235947067338775)×R²
    abs(-1.21496072--1.21500866)×1.09906875185861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09906875185861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09906875185861e-05×40589641000000     		ar = 5192.54553199605m²