Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40189 / 41187
↖ ↑ ↗
← S 41.914541°
E 40.764770°		 ← 454.56 m → S 41.914541°
E 40.770264°		 →
↑
454.51 m
↓
↑
454.51 m
↓
S 41.918629°
E 40.764770°		 ← 454.53 m →
206 594 m²		 S 41.918629°
E 40.770264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613243103027344 y=0.628471374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613243103027344 × 216)
    floor (0.613243103027344 × 65536)
    floor (40189.5)     		tx = 40189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628471374511719 × 216)
    floor (0.628471374511719 × 65536)
    floor (41187.5)     		ty = 41187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40189 / 41187 ti = "16/40189/41187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40189/41187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40189 ÷ 216
    40189 ÷ 65536     		x = 0.613235473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41187 ÷ 216
    41187 ÷ 65536     		y = 0.628463745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613235473632812 × 2 - 1) × π
    0.226470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71147946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628463745117188 × 2 - 1) × π
    -0.256927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.807161515802506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71147946} λ = 0.71147946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807161515802506))-π/2
    2×atan(0.446122582619932)-π/2
    2×0.419624788316048-π/2
    0.839249576632097-1.57079632675     		φ = -0.73154675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71147946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.764770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73154675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.914541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40189 KachelY 41187 0.71147946 -0.73154675 40.764770 -41.914541
    Oben rechts KachelX + 1 40190 KachelY 41187 0.71157534 -0.73154675 40.770264 -41.914541
    Unten links KachelX 40189 KachelY + 1 41188 0.71147946 -0.73161809 40.764770 -41.918629
    Unten rechts KachelX + 1 40190 KachelY + 1 41188 0.71157534 -0.73161809 40.770264 -41.918629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73154675--0.73161809) × R
    7.13399999999753e-05 × 6371000     		dl = 454.507139999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73154675--0.73161809) × R
    7.13399999999753e-05 × 6371000     		dr = 454.507139999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71147946-0.71157534) × cos(-0.73154675) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744142030757528 × 6371000     		do = 454.56026081867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71147946-0.71157534) × cos(-0.73161809) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744094372214755 × 6371000     		du = 454.531148527282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73154675)-sin(-0.73161809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744142030757528-0.744094372214755)×R²
    abs(0.71157534-0.71147946)×4.76585427726661e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76585427726661e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76585427726661e-05×40589641000000     		ar = 206594.268318003m²