Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40186 / 41183
↖ ↑ ↗
← S 41.898189°
E 40.748291°		 ← 454.68 m → S 41.898189°
E 40.753784°		 →
↑
454.63 m
↓
↑
454.63 m
↓
S 41.902277°
E 40.748291°		 ← 454.65 m →
206 705 m²		 S 41.902277°
E 40.753784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613197326660156 y=0.628410339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613197326660156 × 216)
    floor (0.613197326660156 × 65536)
    floor (40186.5)     		tx = 40186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628410339355469 × 216)
    floor (0.628410339355469 × 65536)
    floor (41183.5)     		ty = 41183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40186 / 41183 ti = "16/40186/41183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40186/41183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40186 ÷ 216
    40186 ÷ 65536     		x = 0.613189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41183 ÷ 216
    41183 ÷ 65536     		y = 0.628402709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613189697265625 × 2 - 1) × π
    0.22637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71119184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.256805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806778020605545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71119184} λ = 0.71119184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806778020605545))-π/2
    2×atan(0.44629370129712)-π/2
    2×0.419767494040027-π/2
    0.839534988080054-1.57079632675     		φ = -0.73126134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71119184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.748291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73126134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.898189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40186 KachelY 41183 0.71119184 -0.73126134 40.748291 -41.898189
    Oben rechts KachelX + 1 40187 KachelY 41183 0.71128772 -0.73126134 40.753784 -41.898189
    Unten links KachelX 40186 KachelY + 1 41184 0.71119184 -0.73133270 40.748291 -41.902277
    Unten rechts KachelX + 1 40187 KachelY + 1 41184 0.71128772 -0.73133270 40.753784 -41.902277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73126134--0.73133270) × R
    7.13599999999648e-05 × 6371000     		dl = 454.634559999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73126134--0.73133270) × R
    7.13599999999648e-05 × 6371000     		dr = 454.634559999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71119184-0.71128772) × cos(-0.73126134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744332660444313 × 6371000     		do = 454.676707244448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71119184-0.71128772) × cos(-0.73133270) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744285003697341 × 6371000     		du = 454.647596050028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73126134)-sin(-0.73133270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744332660444313-0.744285003697341)×R²
    abs(0.71128772-0.71119184)×4.76567469723799e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76567469723799e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76567469723799e-05×40589641000000     		ar = 206705.127350497m²