Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40180 / 21253
↖ ↑ ↗
← N 76.348656°
W 69.642334°		 ← 72.08 m → N 76.348656°
W 69.639587°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.348008°
W 69.642334°		 ← 72.09 m →
5 194 m²		 N 76.348008°
W 69.639587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306552886962891 y=0.162151336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306552886962891 × 217)
    floor (0.306552886962891 × 131072)
    floor (40180.5)     		tx = 40180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162151336669922 × 217)
    floor (0.162151336669922 × 131072)
    floor (21253.5)     		ty = 21253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40180 / 21253 ti = "17/40180/21253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40180/21253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40180 ÷ 217
    40180 ÷ 131072     		x = 0.306549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21253 ÷ 217
    21253 ÷ 131072     		y = 0.162147521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.38690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21548803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162147521972656 × 2 - 1) × π
    0.675704956054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.12278972587495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21548803} λ = -1.21548803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12278972587495))-π/2
    2×atan(8.35441152650466)-π/2
    2×1.45166587378528-π/2
    2.90333174757056-1.57079632675     		φ = 1.33253542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21548803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33253542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.348656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40180 KachelY 21253 -1.21548803 1.33253542 -69.642334 76.348656
    Oben rechts KachelX + 1 40181 KachelY 21253 -1.21544009 1.33253542 -69.639587 76.348656
    Unten links KachelX 40180 KachelY + 1 21254 -1.21548803 1.33252411 -69.642334 76.348008
    Unten rechts KachelX + 1 40181 KachelY + 1 21254 -1.21544009 1.33252411 -69.639587 76.348008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33253542-1.33252411) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dl = 72.0560099992074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33253542-1.33252411) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dr = 72.0560099992074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21548803--1.21544009) × cos(1.33253542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236013020547526 × 6371000     		do = 72.0844514503161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21548803--1.21544009) × cos(1.33252411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236024011023718 × 6371000     		du = 72.08780822464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33253542)-sin(1.33252411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236013020547526-0.236024011023718)×R²
    abs(-1.21544009--1.21548803)×1.09904761921298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09904761921298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09904761921298e-05×40589641000000     		ar = 5194.23889238215m²