Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40178 / 41178
↖ ↑ ↗
← S 41.877741°
E 40.704346°		 ← 454.82 m → S 41.877741°
E 40.709839°		 →
↑
454.76 m
↓
↑
454.76 m
↓
S 41.881831°
E 40.704346°		 ← 454.79 m →
206 829 m²		 S 41.881831°
E 40.709839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613075256347656 y=0.628334045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613075256347656 × 216)
    floor (0.613075256347656 × 65536)
    floor (40178.5)     		tx = 40178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628334045410156 × 216)
    floor (0.628334045410156 × 65536)
    floor (41178.5)     		ty = 41178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40178 / 41178 ti = "16/40178/41178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40178/41178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40178 ÷ 216
    40178 ÷ 65536     		x = 0.613067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41178 ÷ 216
    41178 ÷ 65536     		y = 0.628326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613067626953125 × 2 - 1) × π
    0.22613525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71042485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.25665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.806298651609344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71042485} λ = 0.71042485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806298651609344))-π/2
    2×atan(0.446507691946865)-π/2
    2×0.419945927595755-π/2
    0.83989185519151-1.57079632675     		φ = -0.73090447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71042485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.704346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73090447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.877741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40178 KachelY 41178 0.71042485 -0.73090447 40.704346 -41.877741
    Oben rechts KachelX + 1 40179 KachelY 41178 0.71052073 -0.73090447 40.709839 -41.877741
    Unten links KachelX 40178 KachelY + 1 41179 0.71042485 -0.73097585 40.704346 -41.881831
    Unten rechts KachelX + 1 40179 KachelY + 1 41179 0.71052073 -0.73097585 40.709839 -41.881831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73090447--0.73097585) × R
    7.13799999999543e-05 × 6371000     		dl = 454.761979999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73090447--0.73097585) × R
    7.13799999999543e-05 × 6371000     		dr = 454.761979999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71042485-0.71052073) × cos(-0.73090447) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744570934047443 × 6371000     		do = 454.822257028091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71042485-0.71052073) × cos(-0.73097585) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744523282906325 × 6371000     		du = 454.793149258016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73090447)-sin(-0.73097585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744570934047443-0.744523282906325)×R²
    abs(0.71052073-0.71042485)×4.76511411181546e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76511411181546e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76511411181546e-05×40589641000000     		ar = 206829.251688256m²