Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40170 / 41177
↖ ↑ ↗
← S 41.873651°
E 40.660400°		 ← 454.85 m → S 41.873651°
E 40.665894°		 →
↑
454.83 m
↓
↑
454.83 m
↓
S 41.877741°
E 40.660400°		 ← 454.82 m →
206 871 m²		 S 41.877741°
E 40.665894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612953186035156 y=0.628318786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612953186035156 × 216)
    floor (0.612953186035156 × 65536)
    floor (40170.5)     		tx = 40170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628318786621094 × 216)
    floor (0.628318786621094 × 65536)
    floor (41177.5)     		ty = 41177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40170 / 41177 ti = "16/40170/41177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40170/41177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40170 ÷ 216
    40170 ÷ 65536     		x = 0.612945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41177 ÷ 216
    41177 ÷ 65536     		y = 0.628311157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612945556640625 × 2 - 1) × π
    0.22589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70965786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628311157226562 × 2 - 1) × π
    -0.256622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.806202777810104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70965786} λ = 0.70965786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806202777810104))-π/2
    2×atan(0.446550502387849)-π/2
    2×0.419981621159979-π/2
    0.839963242319958-1.57079632675     		φ = -0.73083308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70965786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.660400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73083308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.873651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40170 KachelY 41177 0.70965786 -0.73083308 40.660400 -41.873651
    Oben rechts KachelX + 1 40171 KachelY 41177 0.70975374 -0.73083308 40.665894 -41.873651
    Unten links KachelX 40170 KachelY + 1 41178 0.70965786 -0.73090447 40.660400 -41.877741
    Unten rechts KachelX + 1 40171 KachelY + 1 41178 0.70975374 -0.73090447 40.665894 -41.877741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73083308--0.73090447) × R
    7.13900000000045e-05 × 6371000     		dl = 454.825690000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73083308--0.73090447) × R
    7.13900000000045e-05 × 6371000     		dr = 454.825690000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70965786-0.70975374) × cos(-0.73083308) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744618588069797 × 6371000     		do = 454.851366558174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70965786-0.70975374) × cos(-0.73090447) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744570934047443 × 6371000     		du = 454.822257028091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73083308)-sin(-0.73090447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744618588069797-0.744570934047443)×R²
    abs(0.70975374-0.70965786)×4.7654022353405e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7654022353405e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7654022353405e-05×40589641000000     		ar = 206871.466848807m²