Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4017 / 1747
↖ ↑ ↗
← N 71.258480°
W  3.471680°		 ← 1 570.03 m → N 71.258480°
W  3.427734°		 →
↑
1 570.58 m
↓
↑
1 570.58 m
↓
N 71.244356°
W  3.471680°		 ← 1 571.17 m →
2 466 747 m²		 N 71.244356°
W  3.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49041748046875 y=0.21331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49041748046875 × 213)
    floor (0.49041748046875 × 8192)
    floor (4017.5)     		tx = 4017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21331787109375 × 213)
    floor (0.21331787109375 × 8192)
    floor (1747.5)     		ty = 1747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4017 / 1747 ti = "13/4017/1747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4017/1747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4017 ÷ 213
    4017 ÷ 8192     		x = 0.4903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1747 ÷ 213
    1747 ÷ 8192     		y = 0.2132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06059224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2132568359375 × 2 - 1) × π
    0.573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80166043532019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06059224} λ = -0.06059224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80166043532019))-π/2
    2×atan(6.05970085693177)-π/2
    2×1.40724571347045-π/2
    2.81449142694089-1.57079632675     		φ = 1.24369510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06059224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.471680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24369510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.258480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4017 KachelY 1747 -0.06059224 1.24369510 -3.471680 71.258480
    Oben rechts KachelX + 1 4018 KachelY 1747 -0.05982525 1.24369510 -3.427734 71.258480
    Unten links KachelX 4017 KachelY + 1 1748 -0.06059224 1.24344858 -3.471680 71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 4018 KachelY + 1 1748 -0.05982525 1.24344858 -3.427734 71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24369510-1.24344858) × R
    0.000246520000000139 × 6371000     		dl = 1570.57892000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24369510-1.24344858) × R
    0.000246520000000139 × 6371000     		dr = 1570.57892000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06059224--0.05982525) × cos(1.24369510) × R
    0.000766989999999995 × 0.321299308591804 × 6371000     		do = 1570.02691551548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06059224--0.05982525) × cos(1.24344858) × R
    0.000766989999999995 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 1571.16761448224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24369510)-sin(1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321299308591804-0.321532747767724)×R²
    abs(-0.05982525--0.06059224)×0.00023343917591967×R²
    0.000766989999999995×0.00023343917591967×6371000²
    0.000766989999999995×0.00023343917591967×40589641000000     		ar = 2466746.96870926m²