Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40163 / 9508
↖ ↑ ↗
← N 77.725612°
E 40.621949°		 ← 129.85 m → N 77.725612°
E 40.627441°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
N 77.724444°
E 40.621949°		 ← 129.86 m →
16 861 m²		 N 77.724444°
E 40.627441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612846374511719 y=0.145088195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612846374511719 × 216)
    floor (0.612846374511719 × 65536)
    floor (40163.5)     		tx = 40163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145088195800781 × 216)
    floor (0.145088195800781 × 65536)
    floor (9508.5)     		ty = 9508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40163 / 9508 ti = "16/40163/9508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40163/9508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40163 ÷ 216
    40163 ÷ 65536     		x = 0.612838745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9508 ÷ 216
    9508 ÷ 65536     		y = 0.14508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612838745117188 × 2 - 1) × π
    0.225677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70898675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14508056640625 × 2 - 1) × π
    0.7098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23002457032501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70898675} λ = 0.70898675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23002457032501))-π/2
    2×atan(9.30009458302292)-π/2
    2×1.46368208450418-π/2
    2.92736416900836-1.57079632675     		φ = 1.35656784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70898675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.621949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35656784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.725612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40163 KachelY 9508 0.70898675 1.35656784 40.621949 77.725612
    Oben rechts KachelX + 1 40164 KachelY 9508 0.70908262 1.35656784 40.627441 77.725612
    Unten links KachelX 40163 KachelY + 1 9509 0.70898675 1.35654746 40.621949 77.724444
    Unten rechts KachelX + 1 40164 KachelY + 1 9509 0.70908262 1.35654746 40.627441 77.724444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35656784-1.35654746) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dl = 129.840980000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35656784-1.35654746) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dr = 129.840980000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70898675-0.70908262) × cos(1.35656784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212593614690682 × 6371000     		do = 129.849579833158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70898675-0.70908262) × cos(1.35654746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212613528774074 × 6371000     		du = 129.861743111744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35656784)-sin(1.35654746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212593614690682-0.212613528774074)×R²
    abs(0.70908262-0.70898675)×1.99140833919975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99140833919975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99140833919975e-05×40589641000000     		ar = 16860.586345103m²