Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40163 / 41198
↖ ↑ ↗
← S 41.959490°
E 40.621949°		 ← 454.19 m → S 41.959490°
E 40.627441°		 →
↑
454.25 m
↓
↑
454.25 m
↓
S 41.963575°
E 40.621949°		 ← 454.16 m →
206 311 m²		 S 41.963575°
E 40.627441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612846374511719 y=0.628639221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612846374511719 × 216)
    floor (0.612846374511719 × 65536)
    floor (40163.5)     		tx = 40163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628639221191406 × 216)
    floor (0.628639221191406 × 65536)
    floor (41198.5)     		ty = 41198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40163 / 41198 ti = "16/40163/41198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40163/41198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40163 ÷ 216
    40163 ÷ 65536     		x = 0.612838745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41198 ÷ 216
    41198 ÷ 65536     		y = 0.628631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612838745117188 × 2 - 1) × π
    0.225677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70898675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.25726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.808216127594147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70898675} λ = 0.70898675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808216127594147))-π/2
    2×atan(0.445652344486707)-π/2
    2×0.419232536063939-π/2
    0.838465072127878-1.57079632675     		φ = -0.73233125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70898675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.621949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73233125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.959490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40163 KachelY 41198 0.70898675 -0.73233125 40.621949 -41.959490
    Oben rechts KachelX + 1 40164 KachelY 41198 0.70908262 -0.73233125 40.627441 -41.959490
    Unten links KachelX 40163 KachelY + 1 41199 0.70898675 -0.73240255 40.621949 -41.963575
    Unten rechts KachelX + 1 40164 KachelY + 1 41199 0.70908262 -0.73240255 40.627441 -41.963575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73233125--0.73240255) × R
    7.12999999999964e-05 × 6371000     		dl = 454.252299999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73233125--0.73240255) × R
    7.12999999999964e-05 × 6371000     		dr = 454.252299999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70898675-0.70908262) × cos(-0.73233125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743617739007799 × 6371000     		do = 454.192620541006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70898675-0.70908262) × cos(-0.73240255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743570065580528 × 6371000     		du = 454.163502194674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73233125)-sin(-0.73240255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743617739007799-0.743570065580528)×R²
    abs(0.70908262-0.70898675)×4.76734272715218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76734272715218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76734272715218e-05×40589641000000     		ar = 206311.429073358m²