Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40160 / 21215
↖ ↑ ↗
← N 76.373266°
W 69.697265°		 ← 71.94 m → N 76.373266°
W 69.694519°		 →
↑
71.93 m
↓
↑
71.93 m
↓
N 76.372620°
W 69.697265°		 ← 71.95 m →
5 175 m²		 N 76.372620°
W 69.694519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306400299072266 y=0.161861419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306400299072266 × 217)
    floor (0.306400299072266 × 131072)
    floor (40160.5)     		tx = 40160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161861419677734 × 217)
    floor (0.161861419677734 × 131072)
    floor (21215.5)     		ty = 21215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40160 / 21215 ti = "17/40160/21215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40160/21215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40160 ÷ 217
    40160 ÷ 131072     		x = 0.306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21215 ÷ 217
    21215 ÷ 131072     		y = 0.161857604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.38720703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.21644676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161857604980469 × 2 - 1) × π
    0.676284790039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12461132806051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21644676} λ = -1.21644676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12461132806051))-π/2
    2×atan(8.36964381016901)-π/2
    2×1.45188064455158-π/2
    2.90376128910315-1.57079632675     		φ = 1.33296496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21644676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.697265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33296496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.373266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40160 KachelY 21215 -1.21644676 1.33296496 -69.697265 76.373266
    Oben rechts KachelX + 1 40161 KachelY 21215 -1.21639883 1.33296496 -69.694519 76.373266
    Unten links KachelX 40160 KachelY + 1 21216 -1.21644676 1.33295367 -69.697265 76.372620
    Unten rechts KachelX + 1 40161 KachelY + 1 21216 -1.21639883 1.33295367 -69.694519 76.372620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33296496-1.33295367) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dl = 71.9285899999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33296496-1.33295367) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dr = 71.9285899999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21644676--1.21639883) × cos(1.33296496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235595593338669 × 6371000     		do = 71.9419486409944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21644676--1.21639883) × cos(1.33295367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235606565523478 × 6371000     		du = 71.9452991296212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33296496)-sin(1.33295367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235595593338669-0.235606565523478)×R²
    abs(-1.21639883--1.21644676)×1.09721848088884e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09721848088884e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09721848088884e-05×40589641000000     		ar = 5174.80342573444m²