Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4016 / 5937
↖ ↑ ↗
← S 62.613562°
W  3.515625°		 ← 2 247.74 m → S 62.613562°
W  3.471680°		 →
↑
2 246.92 m
↓
↑
2 246.92 m
↓
S 62.633769°
W  3.515625°		 ← 2 246.21 m →
5 048 774 m²		 S 62.633769°
W  3.471680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49029541015625 y=0.72479248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49029541015625 × 213)
    floor (0.49029541015625 × 8192)
    floor (4016.5)     		tx = 4016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72479248046875 × 213)
    floor (0.72479248046875 × 8192)
    floor (5937.5)     		ty = 5937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4016 / 5937 ti = "13/4016/5937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4016/5937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4016 ÷ 213
    4016 ÷ 8192     		x = 0.490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5937 ÷ 213
    5937 ÷ 8192     		y = 0.7247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490234375 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41202931520837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06135923} λ = -0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41202931520837))-π/2
    2×atan(0.243648341841729)-π/2
    2×0.238991755863277-π/2
    0.477983511726553-1.57079632675     		φ = -1.09281282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09281282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.613562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4016 KachelY 5937 -0.06135923 -1.09281282 -3.515625 -62.613562
    Oben rechts KachelX + 1 4017 KachelY 5937 -0.06059224 -1.09281282 -3.471680 -62.613562
    Unten links KachelX 4016 KachelY + 1 5938 -0.06135923 -1.09316550 -3.515625 -62.633769
    Unten rechts KachelX + 1 4017 KachelY + 1 5938 -0.06059224 -1.09316550 -3.471680 -62.633769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09281282--1.09316550) × R
    0.000352679999999994 × 6371000     		dl = 2246.92427999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09281282--1.09316550) × R
    0.000352679999999994 × 6371000     		dr = 2246.92427999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06135923--0.06059224) × cos(-1.09281282) × R
    0.000766990000000002 × 0.459989618665619 × 6371000     		do = 2247.73618507921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06135923--0.06059224) × cos(-1.09316550) × R
    0.000766990000000002 × 0.459676436924847 × 6371000     		du = 2246.20582460438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09281282)-sin(-1.09316550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459989618665619-0.459676436924847)×R²
    abs(-0.06059224--0.06135923)×0.000313181740772606×R²
    0.000766990000000002×0.000313181740772606×6371000²
    0.000766990000000002×0.000313181740772606×40589641000000     		ar = 5048773.75956737m²