Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40159 / 41194
↖ ↑ ↗
← S 41.943149°
E 40.599976°		 ← 454.31 m → S 41.943149°
E 40.605469°		 →
↑
454.32 m
↓
↑
454.32 m
↓
S 41.947234°
E 40.599976°		 ← 454.28 m →
206 393 m²		 S 41.947234°
E 40.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612785339355469 y=0.628578186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612785339355469 × 216)
    floor (0.612785339355469 × 65536)
    floor (40159.5)     		tx = 40159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628578186035156 × 216)
    floor (0.628578186035156 × 65536)
    floor (41194.5)     		ty = 41194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40159 / 41194 ti = "16/40159/41194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40159/41194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40159 ÷ 216
    40159 ÷ 65536     		x = 0.612777709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41194 ÷ 216
    41194 ÷ 65536     		y = 0.628570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612777709960938 × 2 - 1) × π
    0.225555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70860325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.25714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.807832632397186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70860325} λ = 0.70860325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807832632397186))-π/2
    2×atan(0.445823282795247)-π/2
    2×0.41937514125874-π/2
    0.83875028251748-1.57079632675     		φ = -0.73204604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70860325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.599976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73204604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.943149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40159 KachelY 41194 0.70860325 -0.73204604 40.599976 -41.943149
    Oben rechts KachelX + 1 40160 KachelY 41194 0.70869912 -0.73204604 40.605469 -41.943149
    Unten links KachelX 40159 KachelY + 1 41195 0.70860325 -0.73211735 40.599976 -41.947234
    Unten rechts KachelX + 1 40160 KachelY + 1 41195 0.70869912 -0.73211735 40.605469 -41.947234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73204604--0.73211735) × R
    7.13100000000466e-05 × 6371000     		dl = 454.316010000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73204604--0.73211735) × R
    7.13100000000466e-05 × 6371000     		dr = 454.316010000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70860325-0.70869912) × cos(-0.73204604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743808401595171 × 6371000     		do = 454.309074917569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70860325-0.70869912) × cos(-0.73211735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743760736606712 × 6371000     		du = 454.279961725561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73204604)-sin(-0.73211735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743808401595171-0.743760736606712)×R²
    abs(0.70869912-0.70860325)×4.7664988458429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7664988458429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7664988458429e-05×40589641000000     		ar = 206393.27301635m²