Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40155 / 41199
↖ ↑ ↗
← S 41.963575°
E 40.578003°		 ← 454.21 m → S 41.963575°
E 40.583496°		 →
↑
454.12 m
↓
↑
454.12 m
↓
S 41.967659°
E 40.578003°		 ← 454.18 m →
206 262 m²		 S 41.967659°
E 40.583496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612724304199219 y=0.628654479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612724304199219 × 216)
    floor (0.612724304199219 × 65536)
    floor (40155.5)     		tx = 40155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628654479980469 × 216)
    floor (0.628654479980469 × 65536)
    floor (41199.5)     		ty = 41199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40155 / 41199 ti = "16/40155/41199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40155/41199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40155 ÷ 216
    40155 ÷ 65536     		x = 0.612716674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41199 ÷ 216
    41199 ÷ 65536     		y = 0.628646850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612716674804688 × 2 - 1) × π
    0.225433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70821975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628646850585938 × 2 - 1) × π
    -0.257293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808312001393387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70821975} λ = 0.70821975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808312001393387))-π/2
    2×atan(0.445609620151405)-π/2
    2×0.419196890477692-π/2
    0.838393780955384-1.57079632675     		φ = -0.73240255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70821975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.578003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73240255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.963575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40155 KachelY 41199 0.70821975 -0.73240255 40.578003 -41.963575
    Oben rechts KachelX + 1 40156 KachelY 41199 0.70831563 -0.73240255 40.583496 -41.963575
    Unten links KachelX 40155 KachelY + 1 41200 0.70821975 -0.73247383 40.578003 -41.967659
    Unten rechts KachelX + 1 40156 KachelY + 1 41200 0.70831563 -0.73247383 40.583496 -41.967659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73240255--0.73247383) × R
    7.12800000000069e-05 × 6371000     		dl = 454.124880000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73240255--0.73247383) × R
    7.12800000000069e-05 × 6371000     		dr = 454.124880000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70821975-0.70831563) × cos(-0.73240255) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.743570065580528 × 6371000     		do = 454.210875043265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70821975-0.70831563) × cos(-0.73247383) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.743522401747397 × 6371000     		du = 454.181759520254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73240255)-sin(-0.73247383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743570065580528-0.743522401747397)×R²
    abs(0.70831563-0.70821975)×4.76638331305956e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76638331305956e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76638331305956e-05×40589641000000     		ar = 206261.84816919m²