Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40143 / 41137
↖ ↑ ↗
← S 41.709829°
E 40.512085°		 ← 455.97 m → S 41.709829°
E 40.517578°		 →
↑
455.97 m
↓
↑
455.97 m
↓
S 41.713930°
E 40.512085°		 ← 455.94 m →
207 902 m²		 S 41.713930°
E 40.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612541198730469 y=0.627708435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612541198730469 × 216)
    floor (0.612541198730469 × 65536)
    floor (40143.5)     		tx = 40143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627708435058594 × 216)
    floor (0.627708435058594 × 65536)
    floor (41137.5)     		ty = 41137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40143 / 41137 ti = "16/40143/41137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40143/41137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40143 ÷ 216
    40143 ÷ 65536     		x = 0.612533569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41137 ÷ 216
    41137 ÷ 65536     		y = 0.627700805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612533569335938 × 2 - 1) × π
    0.225067138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70706927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627700805664062 × 2 - 1) × π
    -0.255401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8023678258405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70706927} λ = 0.70706927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8023678258405))-π/2
    2×atan(0.448266289995222)-π/2
    2×0.421411236449407-π/2
    0.842822472898814-1.57079632675     		φ = -0.72797385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70706927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.512085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72797385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.709829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40143 KachelY 41137 0.70706927 -0.72797385 40.512085 -41.709829
    Oben rechts KachelX + 1 40144 KachelY 41137 0.70716514 -0.72797385 40.517578 -41.709829
    Unten links KachelX 40143 KachelY + 1 41138 0.70706927 -0.72804542 40.512085 -41.713930
    Unten rechts KachelX + 1 40144 KachelY + 1 41138 0.70716514 -0.72804542 40.517578 -41.713930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72797385--0.72804542) × R
    7.15700000000208e-05 × 6371000     		dl = 455.972470000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72797385--0.72804542) × R
    7.15700000000208e-05 × 6371000     		dr = 455.972470000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70706927-0.70716514) × cos(-0.72797385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746524049755652 × 6371000     		do = 455.967759601614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70706927-0.70716514) × cos(-0.72804542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746476428140762 × 6371000     		du = 455.938672901651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72797385)-sin(-0.72804542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746524049755652-0.746476428140762)×R²
    abs(0.70716514-0.70706927)×4.76216148901365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76216148901365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76216148901365e-05×40589641000000     		ar = 207902.114307754m²