Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40138 / 41233
↖ ↑ ↗
← S 42.102298°
E 40.484619°		 ← 453.17 m → S 42.102298°
E 40.490112°		 →
↑
453.17 m
↓
↑
453.17 m
↓
S 42.106374°
E 40.484619°		 ← 453.14 m →
205 358 m²		 S 42.106374°
E 40.490112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612464904785156 y=0.629173278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612464904785156 × 216)
    floor (0.612464904785156 × 65536)
    floor (40138.5)     		tx = 40138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629173278808594 × 216)
    floor (0.629173278808594 × 65536)
    floor (41233.5)     		ty = 41233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40138 / 41233 ti = "16/40138/41233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40138/41233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40138 ÷ 216
    40138 ÷ 65536     		x = 0.612457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41233 ÷ 216
    41233 ÷ 65536     		y = 0.629165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612457275390625 × 2 - 1) × π
    0.22491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70658990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.258331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.811571710567551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70658990} λ = 0.70658990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811571710567551))-π/2
    2×atan(0.444159427272128)-π/2
    2×0.417986300374607-π/2
    0.835972600749213-1.57079632675     		φ = -0.73482373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70658990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.484619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73482373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.102298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40138 KachelY 41233 0.70658990 -0.73482373 40.484619 -42.102298
    Oben rechts KachelX + 1 40139 KachelY 41233 0.70668577 -0.73482373 40.490112 -42.102298
    Unten links KachelX 40138 KachelY + 1 41234 0.70658990 -0.73489486 40.484619 -42.106374
    Unten rechts KachelX + 1 40139 KachelY + 1 41234 0.70668577 -0.73489486 40.490112 -42.106374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73482373--0.73489486) × R
    7.11300000000303e-05 × 6371000     		dl = 453.169230000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73482373--0.73489486) × R
    7.11300000000303e-05 × 6371000     		dr = 453.169230000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70658990-0.70668577) × cos(-0.73482373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741948946274887 × 6371000     		do = 453.173342349078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70658990-0.70668577) × cos(-0.73489486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741901254835488 × 6371000     		du = 453.144213001159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73482373)-sin(-0.73489486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741948946274887-0.741901254835488)×R²
    abs(0.70668577-0.70658990)×4.7691439398978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7691439398978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7691439398978e-05×40589641000000     		ar = 205357.614433586m²