Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40131 / 41255
↖ ↑ ↗
← S 42.191899°
E 40.446167°		 ← 452.58 m → S 42.191899°
E 40.451660°		 →
↑
452.53 m
↓
↑
452.53 m
↓
S 42.195969°
E 40.446167°		 ← 452.55 m →
204 800 m²		 S 42.195969°
E 40.451660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612358093261719 y=0.629508972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612358093261719 × 216)
    floor (0.612358093261719 × 65536)
    floor (40131.5)     		tx = 40131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629508972167969 × 216)
    floor (0.629508972167969 × 65536)
    floor (41255.5)     		ty = 41255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40131 / 41255 ti = "16/40131/41255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40131/41255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40131 ÷ 216
    40131 ÷ 65536     		x = 0.612350463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41255 ÷ 216
    41255 ÷ 65536     		y = 0.629501342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612350463867188 × 2 - 1) × π
    0.224700927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70591878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629501342773438 × 2 - 1) × π
    -0.259002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.813680934150833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70591878} λ = 0.70591878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813680934150833))-π/2
    2×atan(0.443223583032709)-π/2
    2×0.417204385583054-π/2
    0.834408771166109-1.57079632675     		φ = -0.73638756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70591878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.446167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73638756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.191899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40131 KachelY 41255 0.70591878 -0.73638756 40.446167 -42.191899
    Oben rechts KachelX + 1 40132 KachelY 41255 0.70601466 -0.73638756 40.451660 -42.191899
    Unten links KachelX 40131 KachelY + 1 41256 0.70591878 -0.73645859 40.446167 -42.195969
    Unten rechts KachelX + 1 40132 KachelY + 1 41256 0.70601466 -0.73645859 40.451660 -42.195969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73638756--0.73645859) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dl = 452.532129999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73638756--0.73645859) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dr = 452.532129999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70591878-0.70601466) × cos(-0.73638756) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.74089955965553 × 6371000     		do = 452.579592547156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70591878-0.70601466) × cos(-0.73645859) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.740851852913124 × 6371000     		du = 452.550450812951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73638756)-sin(-0.73645859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74089955965553-0.740851852913124)×R²
    abs(0.70601466-0.70591878)×4.77067424061728e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77067424061728e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77067424061728e-05×40589641000000     		ar = 204800.213310449m²