Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40130 / 41254
↖ ↑ ↗
← S 42.187829°
E 40.440674°		 ← 452.56 m → S 42.187829°
E 40.446167°		 →
↑
452.60 m
↓
↑
452.60 m
↓
S 42.191899°
E 40.440674°		 ← 452.53 m →
204 821 m²		 S 42.191899°
E 40.446167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612342834472656 y=0.629493713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612342834472656 × 216)
    floor (0.612342834472656 × 65536)
    floor (40130.5)     		tx = 40130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629493713378906 × 216)
    floor (0.629493713378906 × 65536)
    floor (41254.5)     		ty = 41254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40130 / 41254 ti = "16/40130/41254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40130/41254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40130 ÷ 216
    40130 ÷ 65536     		x = 0.612335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41254 ÷ 216
    41254 ÷ 65536     		y = 0.629486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612335205078125 × 2 - 1) × π
    0.22467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70582291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.25897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.813585060351593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70582291} λ = 0.70582291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813585060351593))-π/2
    2×atan(0.443266078598601)-π/2
    2×0.417239903154467-π/2
    0.834479806308935-1.57079632675     		φ = -0.73631652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70582291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.440674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73631652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.187829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40130 KachelY 41254 0.70582291 -0.73631652 40.440674 -42.187829
    Oben rechts KachelX + 1 40131 KachelY 41254 0.70591878 -0.73631652 40.446167 -42.187829
    Unten links KachelX 40130 KachelY + 1 41255 0.70582291 -0.73638756 40.440674 -42.191899
    Unten rechts KachelX + 1 40131 KachelY + 1 41255 0.70591878 -0.73638756 40.446167 -42.191899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73631652--0.73638756) × R
    7.10400000000222e-05 × 6371000     		dl = 452.595840000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73631652--0.73638756) × R
    7.10400000000222e-05 × 6371000     		dr = 452.595840000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70582291-0.70591878) × cos(-0.73631652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740947269375537 × 6371000     		do = 452.561530349464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70582291-0.70591878) × cos(-0.73638756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.74089955965553 × 6371000     		du = 452.532389835973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73631652)-sin(-0.73638756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740947269375537-0.74089955965553)×R²
    abs(0.70591878-0.70582291)×4.77097200067833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77097200067833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77097200067833e-05×40589641000000     		ar = 204820.871628912m²