Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40128 / 41180
↖ ↑ ↗
← S 41.885921°
E 40.429687°		 ← 454.76 m → S 41.885921°
E 40.435181°		 →
↑
454.76 m
↓
↑
454.76 m
↓
S 41.890011°
E 40.429687°		 ← 454.73 m →
206 803 m²		 S 41.890011°
E 40.435181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612312316894531 y=0.628364562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612312316894531 × 216)
    floor (0.612312316894531 × 65536)
    floor (40128.5)     		tx = 40128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628364562988281 × 216)
    floor (0.628364562988281 × 65536)
    floor (41180.5)     		ty = 41180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40128 / 41180 ti = "16/40128/41180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40128/41180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40128 ÷ 216
    40128 ÷ 65536     		x = 0.6123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41180 ÷ 216
    41180 ÷ 65536     		y = 0.62835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6123046875 × 2 - 1) × π
    0.224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70563116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806490399207825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70563116} λ = 0.70563116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806490399207825))-π/2
    2×atan(0.446422083377113)-π/2
    2×0.419874547320278-π/2
    0.839749094640556-1.57079632675     		φ = -0.73104723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70563116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.429687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73104723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.885921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40128 KachelY 41180 0.70563116 -0.73104723 40.429687 -41.885921
    Oben rechts KachelX + 1 40129 KachelY 41180 0.70572704 -0.73104723 40.435181 -41.885921
    Unten links KachelX 40128 KachelY + 1 41181 0.70563116 -0.73111861 40.429687 -41.890011
    Unten rechts KachelX + 1 40129 KachelY + 1 41181 0.70572704 -0.73111861 40.435181 -41.890011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73104723--0.73111861) × R
    7.13799999999543e-05 × 6371000     		dl = 454.761979999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73104723--0.73111861) × R
    7.13799999999543e-05 × 6371000     		dr = 454.761979999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70563116-0.70572704) × cos(-0.73104723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744475627971783 × 6371000     		do = 454.764039170195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70563116-0.70572704) × cos(-0.73111861) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.74442796924406 × 6371000     		du = 454.73492676583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73104723)-sin(-0.73111861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744475627971783-0.74442796924406)×R²
    abs(0.70572704-0.70563116)×4.76587277230545e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76587277230545e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76587277230545e-05×40589641000000     		ar = 206802.775366231m²