Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40128 / 41158
↖ ↑ ↗
← S 41.795888°
E 40.429687°		 ← 455.40 m → S 41.795888°
E 40.435181°		 →
↑
455.34 m
↓
↑
455.34 m
↓
S 41.799983°
E 40.429687°		 ← 455.38 m →
207 355 m²		 S 41.799983°
E 40.435181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612312316894531 y=0.628028869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612312316894531 × 216)
    floor (0.612312316894531 × 65536)
    floor (40128.5)     		tx = 40128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628028869628906 × 216)
    floor (0.628028869628906 × 65536)
    floor (41158.5)     		ty = 41158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40128 / 41158 ti = "16/40128/41158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40128/41158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40128 ÷ 216
    40128 ÷ 65536     		x = 0.6123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41158 ÷ 216
    41158 ÷ 65536     		y = 0.628021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6123046875 × 2 - 1) × π
    0.224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70563116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.25604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.804381175624542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70563116} λ = 0.70563116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804381175624542))-π/2
    2×atan(0.447364681088677)-π/2
    2×0.420660232851743-π/2
    0.841320465703485-1.57079632675     		φ = -0.72947586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70563116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.429687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72947586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.795888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40128 KachelY 41158 0.70563116 -0.72947586 40.429687 -41.795888
    Oben rechts KachelX + 1 40129 KachelY 41158 0.70572704 -0.72947586 40.435181 -41.795888
    Unten links KachelX 40128 KachelY + 1 41159 0.70563116 -0.72954733 40.429687 -41.799983
    Unten rechts KachelX + 1 40129 KachelY + 1 41159 0.70572704 -0.72954733 40.435181 -41.799983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72947586--0.72954733) × R
    7.14700000000734e-05 × 6371000     		dl = 455.335370000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72947586--0.72954733) × R
    7.14700000000734e-05 × 6371000     		dr = 455.335370000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70563116-0.70572704) × cos(-0.72947586) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.745523833021183 × 6371000     		do = 455.404336775964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70563116-0.70572704) × cos(-0.72954733) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.745476197865348 × 6371000     		du = 455.375238770522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72947586)-sin(-0.72954733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745523833021183-0.745476197865348)×R²
    abs(0.70572704-0.70563116)×4.76351558349464e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76351558349464e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76351558349464e-05×40589641000000     		ar = 207355.077598327m²