Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40121 / 41111
↖ ↑ ↗
← S 41.603121°
E 40.391236°		 ← 456.72 m → S 41.603121°
E 40.396729°		 →
↑
456.67 m
↓
↑
456.67 m
↓
S 41.607228°
E 40.391236°		 ← 456.69 m →
208 567 m²		 S 41.607228°
E 40.396729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612205505371094 y=0.627311706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612205505371094 × 216)
    floor (0.612205505371094 × 65536)
    floor (40121.5)     		tx = 40121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627311706542969 × 216)
    floor (0.627311706542969 × 65536)
    floor (41111.5)     		ty = 41111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40121 / 41111 ti = "16/40121/41111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40121/41111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40121 ÷ 216
    40121 ÷ 65536     		x = 0.612197875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41111 ÷ 216
    41111 ÷ 65536     		y = 0.627304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612197875976562 × 2 - 1) × π
    0.224395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70496005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.254608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799875107060257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70496005} λ = 0.70496005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799875107060257))-π/2
    2×atan(0.44938508563698)-π/2
    2×0.42234244518322-π/2
    0.84468489036644-1.57079632675     		φ = -0.72611144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70496005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.391236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72611144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.603121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40121 KachelY 41111 0.70496005 -0.72611144 40.391236 -41.603121
    Oben rechts KachelX + 1 40122 KachelY 41111 0.70505592 -0.72611144 40.396729 -41.603121
    Unten links KachelX 40121 KachelY + 1 41112 0.70496005 -0.72618312 40.391236 -41.607228
    Unten rechts KachelX + 1 40122 KachelY + 1 41112 0.70505592 -0.72618312 40.396729 -41.607228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72611144--0.72618312) × R
    7.16799999999074e-05 × 6371000     		dl = 456.67327999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72611144--0.72618312) × R
    7.16799999999074e-05 × 6371000     		dr = 456.67327999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70496005-0.70505592) × cos(-0.72611144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		do = 456.723838387596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70496005-0.70505592) × cos(-0.72618312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747714329479723 × 6371000     		du = 456.694767899955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72611144)-sin(-0.72618312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747761924551316-0.747714329479723)×R²
    abs(0.70505592-0.70496005)×4.75950715930207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75950715930207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75950715930207e-05×40589641000000     		ar = 208566.935562457m²