Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40121 / 41099
↖ ↑ ↗
← S 41.553811°
E 40.391236°		 ← 457.07 m → S 41.553811°
E 40.396729°		 →
↑
457.06 m
↓
↑
457.06 m
↓
S 41.557921°
E 40.391236°		 ← 457.04 m →
208 901 m²		 S 41.557921°
E 40.396729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612205505371094 y=0.627128601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612205505371094 × 216)
    floor (0.612205505371094 × 65536)
    floor (40121.5)     		tx = 40121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627128601074219 × 216)
    floor (0.627128601074219 × 65536)
    floor (41099.5)     		ty = 41099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40121 / 41099 ti = "16/40121/41099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40121/41099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40121 ÷ 216
    40121 ÷ 65536     		x = 0.612197875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41099 ÷ 216
    41099 ÷ 65536     		y = 0.627120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612197875976562 × 2 - 1) × π
    0.224395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70496005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.254241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.798724621469376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70496005} λ = 0.70496005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798724621469376))-π/2
    2×atan(0.44990239422374)-π/2
    2×0.422772754123517-π/2
    0.845545508247035-1.57079632675     		φ = -0.72525082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70496005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.391236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72525082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.553811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40121 KachelY 41099 0.70496005 -0.72525082 40.391236 -41.553811
    Oben rechts KachelX + 1 40122 KachelY 41099 0.70505592 -0.72525082 40.396729 -41.553811
    Unten links KachelX 40121 KachelY + 1 41100 0.70496005 -0.72532256 40.391236 -41.557921
    Unten rechts KachelX + 1 40122 KachelY + 1 41100 0.70505592 -0.72532256 40.396729 -41.557921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72525082--0.72532256) × R
    7.17399999999868e-05 × 6371000     		dl = 457.055539999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72525082--0.72532256) × R
    7.17399999999868e-05 × 6371000     		dr = 457.055539999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70496005-0.70505592) × cos(-0.72525082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748333070791879 × 6371000     		do = 457.072687526214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70496005-0.70505592) × cos(-0.72532256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748285482062695 × 6371000     		du = 457.043620912439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72525082)-sin(-0.72532256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748333070791879-0.748285482062695)×R²
    abs(0.70505592-0.70496005)×4.75887291839783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75887291839783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75887291839783e-05×40589641000000     		ar = 208900.961577672m²