Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40120 / 41171
↖ ↑ ↗
← S 41.849105°
E 40.385742°		 ← 455.03 m → S 41.849105°
E 40.391236°		 →
↑
454.95 m
↓
↑
454.95 m
↓
S 41.853196°
E 40.385742°		 ← 455 m →
207 009 m²		 S 41.853196°
E 40.391236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612190246582031 y=0.628227233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612190246582031 × 216)
    floor (0.612190246582031 × 65536)
    floor (40120.5)     		tx = 40120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628227233886719 × 216)
    floor (0.628227233886719 × 65536)
    floor (41171.5)     		ty = 41171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40120 / 41171 ti = "16/40120/41171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40120/41171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40120 ÷ 216
    40120 ÷ 65536     		x = 0.6121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41171 ÷ 216
    41171 ÷ 65536     		y = 0.628219604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6121826171875 × 2 - 1) × π
    0.224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70486417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628219604492188 × 2 - 1) × π
    -0.256439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.805627535014664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70486417} λ = 0.70486417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805627535014664))-π/2
    2×atan(0.446807451244052)-π/2
    2×0.420195830513874-π/2
    0.840391661027749-1.57079632675     		φ = -0.73040467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70486417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73040467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.849105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40120 KachelY 41171 0.70486417 -0.73040467 40.385742 -41.849105
    Oben rechts KachelX + 1 40121 KachelY 41171 0.70496005 -0.73040467 40.391236 -41.849105
    Unten links KachelX 40120 KachelY + 1 41172 0.70486417 -0.73047608 40.385742 -41.853196
    Unten rechts KachelX + 1 40121 KachelY + 1 41172 0.70496005 -0.73047608 40.391236 -41.853196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73040467--0.73047608) × R
    7.1409999999994e-05 × 6371000     		dl = 454.953109999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73040467--0.73047608) × R
    7.1409999999994e-05 × 6371000     		dr = 454.953109999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70486417-0.70496005) × cos(-0.73040467) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744904479202976 × 6371000     		do = 455.026003579469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70486417-0.70496005) × cos(-0.73047608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.744856834613336 × 6371000     		du = 454.996899811373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73040467)-sin(-0.73047608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744904479202976-0.744856834613336)×R²
    abs(0.70496005-0.70486417)×4.76445896397948e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76445896397948e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76445896397948e-05×40589641000000     		ar = 207008.875122567m²