Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4010 / 1722
↖ ↑ ↗
← N 71.608282°
W  3.779297°		 ← 1 541.75 m → N 71.608282°
W  3.735351°		 →
↑
1 542.29 m
↓
↑
1 542.29 m
↓
N 71.594412°
W  3.779297°		 ← 1 542.87 m →
2 378 689 m²		 N 71.594412°
W  3.735351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48956298828125 y=0.21026611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48956298828125 × 213)
    floor (0.48956298828125 × 8192)
    floor (4010.5)     		tx = 4010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21026611328125 × 213)
    floor (0.21026611328125 × 8192)
    floor (1722.5)     		ty = 1722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4010 / 1722 ti = "13/4010/1722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4010/1722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4010 ÷ 213
    4010 ÷ 8192     		x = 0.489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1722 ÷ 213
    1722 ÷ 8192     		y = 0.210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.02099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06596117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210205078125 × 2 - 1) × π
    0.57958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82083519516821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06596117} λ = -0.06596117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82083519516821))-π/2
    2×atan(6.17701530943211)-π/2
    2×1.41029831424374-π/2
    2.82059662848748-1.57079632675     		φ = 1.24980030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06596117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24980030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.608282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4010 KachelY 1722 -0.06596117 1.24980030 -3.779297 71.608282
    Oben rechts KachelX + 1 4011 KachelY 1722 -0.06519418 1.24980030 -3.735351 71.608282
    Unten links KachelX 4010 KachelY + 1 1723 -0.06596117 1.24955822 -3.779297 71.594412
    Unten rechts KachelX + 1 4011 KachelY + 1 1723 -0.06519418 1.24955822 -3.735351 71.594412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24980030-1.24955822) × R
    0.000242080000000033 × 6371000     		dl = 1542.29168000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24980030-1.24955822) × R
    0.000242080000000033 × 6371000     		dr = 1542.29168000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06596117--0.06519418) × cos(1.24980030) × R
    0.000766989999999995 × 0.315511868334952 × 6371000     		do = 1541.7466275341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06596117--0.06519418) × cos(1.24955822) × R
    0.000766989999999995 × 0.315741574036106 × 6371000     		du = 1542.86908290146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24980030)-sin(1.24955822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315511868334952-0.315741574036106)×R²
    abs(-0.06519418--0.06596117)×0.000229705701153882×R²
    0.000766989999999995×0.000229705701153882×6371000²
    0.000766989999999995×0.000229705701153882×40589641000000     		ar = 2378688.5847199m²