Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40098 / 27786
↖ ↑ ↗
← N 71.404421°
W 69.867554°		 ← 97.38 m → N 71.404421°
W 69.864807°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 71.403545°
W 69.867554°		 ← 97.38 m →
9 486 m²		 N 71.403545°
W 69.864807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305927276611328 y=0.211994171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305927276611328 × 217)
    floor (0.305927276611328 × 131072)
    floor (40098.5)     		tx = 40098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211994171142578 × 217)
    floor (0.211994171142578 × 131072)
    floor (27786.5)     		ty = 27786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40098 / 27786 ti = "17/40098/27786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40098/27786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40098 ÷ 217
    40098 ÷ 131072     		x = 0.305923461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27786 ÷ 217
    27786 ÷ 131072     		y = 0.211990356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.388153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21941885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211990356445312 × 2 - 1) × π
    0.576019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80961796065712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21941885} λ = -1.21941885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80961796065712))-π/2
    2×atan(6.10811344677442)-π/2
    2×1.40851928120487-π/2
    2.81703856240974-1.57079632675     		φ = 1.24624224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21941885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24624224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.404421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40098 KachelY 27786 -1.21941885 1.24624224 -69.867554 71.404421
    Oben rechts KachelX + 1 40099 KachelY 27786 -1.21937092 1.24624224 -69.864807 71.404421
    Unten links KachelX 40098 KachelY + 1 27787 -1.21941885 1.24622695 -69.867554 71.403545
    Unten rechts KachelX + 1 40099 KachelY + 1 27787 -1.21937092 1.24622695 -69.864807 71.403545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24624224-1.24622695) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24624224-1.24622695) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21941885--1.21937092) × cos(1.24624224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318886184152817 × 6371000     		do = 97.3757325319177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21941885--1.21937092) × cos(1.24622695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318900675870759 × 6371000     		du = 97.3801577523266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24624224)-sin(1.24622695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318886184152817-0.318900675870759)×R²
    abs(-1.21937092--1.21941885)×1.4491717941767e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4491717941767e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4491717941767e-05×40589641000000     		ar = 9485.83784537692m²