Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40086 / 41115
↖ ↑ ↗
← S 41.619549°
E 40.198974°		 ← 456.66 m → S 41.619549°
E 40.204468°		 →
↑
456.61 m
↓
↑
456.61 m
↓
S 41.623655°
E 40.198974°		 ← 456.63 m →
208 506 m²		 S 41.623655°
E 40.204468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611671447753906 y=0.627372741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611671447753906 × 216)
    floor (0.611671447753906 × 65536)
    floor (40086.5)     		tx = 40086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627372741699219 × 216)
    floor (0.627372741699219 × 65536)
    floor (41115.5)     		ty = 41115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40086 / 41115 ti = "16/40086/41115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40086/41115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40086 ÷ 216
    40086 ÷ 65536     		x = 0.611663818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41115 ÷ 216
    41115 ÷ 65536     		y = 0.627365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611663818359375 × 2 - 1) × π
    0.22332763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70160446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.254730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.800258602257217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70160446} λ = 0.70160446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800258602257217))-π/2
    2×atan(0.449212781656039)-π/2
    2×0.422199081884401-π/2
    0.844398163768803-1.57079632675     		φ = -0.72639816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70160446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.198974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72639816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.619549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40086 KachelY 41115 0.70160446 -0.72639816 40.198974 -41.619549
    Oben rechts KachelX + 1 40087 KachelY 41115 0.70170034 -0.72639816 40.204468 -41.619549
    Unten links KachelX 40086 KachelY + 1 41116 0.70160446 -0.72646983 40.198974 -41.623655
    Unten rechts KachelX + 1 40087 KachelY + 1 41116 0.70170034 -0.72646983 40.204468 -41.623655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72639816--0.72646983) × R
    7.16699999999681e-05 × 6371000     		dl = 456.609569999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72639816--0.72646983) × R
    7.16699999999681e-05 × 6371000     		dr = 456.609569999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70160446-0.70170034) × cos(-0.72639816) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747571521215284 × 6371000     		do = 456.655170140437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70160446-0.70170034) × cos(-0.72646983) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747523917420415 × 6371000     		du = 456.626091291888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72639816)-sin(-0.72646983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747571521215284-0.747523917420415)×R²
    abs(0.70170034-0.70160446)×4.7603794868456e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7603794868456e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7603794868456e-05×40589641000000     		ar = 208506.482125121m²