Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40084 / 41132
↖ ↑ ↗
← S 41.689322°
E 40.187989°		 ← 456.11 m → S 41.689322°
E 40.193482°		 →
↑
456.10 m
↓
↑
456.10 m
↓
S 41.693424°
E 40.187989°		 ← 456.08 m →
208 027 m²		 S 41.693424°
E 40.193482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611640930175781 y=0.627632141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611640930175781 × 216)
    floor (0.611640930175781 × 65536)
    floor (40084.5)     		tx = 40084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627632141113281 × 216)
    floor (0.627632141113281 × 65536)
    floor (41132.5)     		ty = 41132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40084 / 41132 ti = "16/40084/41132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40084/41132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40084 ÷ 216
    40084 ÷ 65536     		x = 0.61163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41132 ÷ 216
    41132 ÷ 65536     		y = 0.62762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61163330078125 × 2 - 1) × π
    0.2232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70141272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.801888456844299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70141272} λ = 0.70141272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801888456844299))-π/2
    2×atan(0.448481226469512)-π/2
    2×0.421590195225282-π/2
    0.843180390450565-1.57079632675     		φ = -0.72761594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70141272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.187989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72761594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.689322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40084 KachelY 41132 0.70141272 -0.72761594 40.187989 -41.689322
    Oben rechts KachelX + 1 40085 KachelY 41132 0.70150859 -0.72761594 40.193482 -41.689322
    Unten links KachelX 40084 KachelY + 1 41133 0.70141272 -0.72768753 40.187989 -41.693424
    Unten rechts KachelX + 1 40085 KachelY + 1 41133 0.70150859 -0.72768753 40.193482 -41.693424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72761594--0.72768753) × R
    7.15900000000103e-05 × 6371000     		dl = 456.099890000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72761594--0.72768753) × R
    7.15900000000103e-05 × 6371000     		dr = 456.099890000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70141272-0.70150859) × cos(-0.72761594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746762140372289 × 6371000     		do = 456.113182438408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70141272-0.70150859) × cos(-0.72768753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746714524579621 × 6371000     		du = 456.084099294587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72761594)-sin(-0.72768753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746762140372289-0.746714524579621)×R²
    abs(0.70150859-0.70141272)×4.76157926678766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76157926678766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76157926678766e-05×40589641000000     		ar = 208026.54001745m²