Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40083 / 41106
↖ ↑ ↗
← S 41.582580°
E 40.182495°		 ← 456.92 m → S 41.582580°
E 40.187989°		 →
↑
456.86 m
↓
↑
456.86 m
↓
S 41.586689°
E 40.182495°		 ← 456.89 m →
208 742 m²		 S 41.586689°
E 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611625671386719 y=0.627235412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611625671386719 × 216)
    floor (0.611625671386719 × 65536)
    floor (40083.5)     		tx = 40083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627235412597656 × 216)
    floor (0.627235412597656 × 65536)
    floor (41106.5)     		ty = 41106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40083 / 41106 ti = "16/40083/41106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40083/41106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40083 ÷ 216
    40083 ÷ 65536     		x = 0.611618041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41106 ÷ 216
    41106 ÷ 65536     		y = 0.627227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611618041992188 × 2 - 1) × π
    0.223236083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70131684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.25445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.799395738064056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70131684} λ = 0.70131684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799395738064056))-π/2
    2×atan(0.449600558555781)-π/2
    2×0.422521700647198-π/2
    0.845043401294396-1.57079632675     		φ = -0.72575293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70131684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.182495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72575293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.582580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40083 KachelY 41106 0.70131684 -0.72575293 40.182495 -41.582580
    Oben rechts KachelX + 1 40084 KachelY 41106 0.70141272 -0.72575293 40.187989 -41.582580
    Unten links KachelX 40083 KachelY + 1 41107 0.70131684 -0.72582464 40.182495 -41.586689
    Unten rechts KachelX + 1 40084 KachelY + 1 41107 0.70141272 -0.72582464 40.187989 -41.586689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72575293--0.72582464) × R
    7.17100000000581e-05 × 6371000     		dl = 456.86441000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72575293--0.72582464) × R
    7.17100000000581e-05 × 6371000     		dr = 456.86441000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70131684-0.70141272) × cos(-0.72575293) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.747999915281003 × 6371000     		do = 456.916855288976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70131684-0.70141272) × cos(-0.72582464) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.747952319515267 × 6371000     		du = 456.887781345034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72575293)-sin(-0.72582464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747999915281003-0.747952319515267)×R²
    abs(0.70141272-0.70131684)×4.75957657363191e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75957657363191e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75957657363191e-05×40589641000000     		ar = 208742.408175411m²