Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40082 / 9448
↖ ↑ ↗
← N 77.795484°
E 40.177002°		 ← 129.12 m → N 77.795484°
E 40.182495°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 77.794323°
E 40.177002°		 ← 129.13 m →
16 676 m²		 N 77.794323°
E 40.182495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611610412597656 y=0.144172668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611610412597656 × 216)
    floor (0.611610412597656 × 65536)
    floor (40082.5)     		tx = 40082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144172668457031 × 216)
    floor (0.144172668457031 × 65536)
    floor (9448.5)     		ty = 9448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40082 / 9448 ti = "16/40082/9448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40082/9448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40082 ÷ 216
    40082 ÷ 65536     		x = 0.611602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9448 ÷ 216
    9448 ÷ 65536     		y = 0.1441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611602783203125 × 2 - 1) × π
    0.22320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70122097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1441650390625 × 2 - 1) × π
    0.711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23577699827942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70122097} λ = 0.70122097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23577699827942))-π/2
    2×atan(9.35374687460386)-π/2
    2×1.46429183378734-π/2
    2.92858366757467-1.57079632675     		φ = 1.35778734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70122097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.177002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35778734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.795484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40082 KachelY 9448 0.70122097 1.35778734 40.177002 77.795484
    Oben rechts KachelX + 1 40083 KachelY 9448 0.70131684 1.35778734 40.182495 77.795484
    Unten links KachelX 40082 KachelY + 1 9449 0.70122097 1.35776707 40.177002 77.794323
    Unten rechts KachelX + 1 40083 KachelY + 1 9449 0.70131684 1.35776707 40.182495 77.794323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35778734-1.35776707) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35778734-1.35776707) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70122097-0.70131684) × cos(1.35778734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211401833815283 × 6371000     		do = 129.121654649945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70122097-0.70131684) × cos(1.35776707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211421645654346 × 6371000     		du = 129.133755478946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35778734)-sin(1.35776707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211401833815283-0.211421645654346)×R²
    abs(0.70131684-0.70122097)×1.98118390633273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98118390633273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98118390633273e-05×40589641000000     		ar = 16675.5737841229m²