Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40081 / 41328
↖ ↑ ↗
← S 42.488302°
E 40.171509°		 ← 450.45 m → S 42.488302°
E 40.177002°		 →
↑
450.43 m
↓
↑
450.43 m
↓
S 42.492353°
E 40.171509°		 ← 450.42 m →
202 890 m²		 S 42.492353°
E 40.177002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611595153808594 y=0.630622863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611595153808594 × 216)
    floor (0.611595153808594 × 65536)
    floor (40081.5)     		tx = 40081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630622863769531 × 216)
    floor (0.630622863769531 × 65536)
    floor (41328.5)     		ty = 41328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40081 / 41328 ti = "16/40081/41328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40081/41328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40081 ÷ 216
    40081 ÷ 65536     		x = 0.611587524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41328 ÷ 216
    41328 ÷ 65536     		y = 0.630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611587524414062 × 2 - 1) × π
    0.223175048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70112509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.26123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820679721495361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70112509} λ = 0.70112509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820679721495361))-π/2
    2×atan(0.440132385364551)-π/2
    2×0.414617781843255-π/2
    0.82923556368651-1.57079632675     		φ = -0.74156076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70112509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.171509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74156076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.488302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40081 KachelY 41328 0.70112509 -0.74156076 40.171509 -42.488302
    Oben rechts KachelX + 1 40082 KachelY 41328 0.70122097 -0.74156076 40.177002 -42.488302
    Unten links KachelX 40081 KachelY + 1 41329 0.70112509 -0.74163146 40.171509 -42.492353
    Unten rechts KachelX + 1 40082 KachelY + 1 41329 0.70122097 -0.74163146 40.177002 -42.492353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74156076--0.74163146) × R
    7.06999999999791e-05 × 6371000     		dl = 450.429699999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74156076--0.74163146) × R
    7.06999999999791e-05 × 6371000     		dr = 450.429699999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70112509-0.70122097) × cos(-0.74156076) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737415258111804 × 6371000     		do = 450.451201792404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70112509-0.70122097) × cos(-0.74163146) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737367502684754 × 6371000     		du = 450.422030319112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74156076)-sin(-0.74163146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737415258111804-0.737367502684754)×R²
    abs(0.70122097-0.70112509)×4.77554270502667e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77554270502667e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77554270502667e-05×40589641000000     		ar = 202890.029923398m²