Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40080 / 41325
↖ ↑ ↗
← S 42.476149°
E 40.166016°		 ← 450.49 m → S 42.476149°
E 40.171509°		 →
↑
450.49 m
↓
↑
450.49 m
↓
S 42.480200°
E 40.166016°		 ← 450.46 m →
202 937 m²		 S 42.480200°
E 40.171509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611579895019531 y=0.630577087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611579895019531 × 216)
    floor (0.611579895019531 × 65536)
    floor (40080.5)     		tx = 40080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630577087402344 × 216)
    floor (0.630577087402344 × 65536)
    floor (41325.5)     		ty = 41325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40080 / 41325 ti = "16/40080/41325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40080/41325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40080 ÷ 216
    40080 ÷ 65536     		x = 0.611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41325 ÷ 216
    41325 ÷ 65536     		y = 0.630569458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630569458007812 × 2 - 1) × π
    -0.261138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.820392100097641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70102922} λ = 0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820392100097641))-π/2
    2×atan(0.440258995063368)-π/2
    2×0.414723840347484-π/2
    0.829447680694968-1.57079632675     		φ = -0.74134865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74134865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.476149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40080 KachelY 41325 0.70102922 -0.74134865 40.166016 -42.476149
    Oben rechts KachelX + 1 40081 KachelY 41325 0.70112509 -0.74134865 40.171509 -42.476149
    Unten links KachelX 40080 KachelY + 1 41326 0.70102922 -0.74141936 40.166016 -42.480200
    Unten rechts KachelX + 1 40081 KachelY + 1 41326 0.70112509 -0.74141936 40.171509 -42.480200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74134865--0.74141936) × R
    7.07099999999183e-05 × 6371000     		dl = 450.49340999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74134865--0.74141936) × R
    7.07099999999183e-05 × 6371000     		dr = 450.49340999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70102922-0.70112509) × cos(-0.74134865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737558509029056 × 6371000     		do = 450.491716974372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70102922-0.70112509) × cos(-0.74141936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737510757907778 × 6371000     		du = 450.462551173491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74134865)-sin(-0.74141936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737558509029056-0.737510757907778)×R²
    abs(0.70112509-0.70102922)×4.77511212781945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77511212781945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77511212781945e-05×40589641000000     		ar = 202936.980340573m²