Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4008 / 3944
↖ ↑ ↗
← N 79.480618°
W135.966797°		 ← 223.03 m → N 79.480618°
W135.955810°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
N 79.478612°
W135.966797°		 ← 223.07 m →
49 752 m²		 N 79.478612°
W135.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122329711914062 y=0.120376586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122329711914062 × 215)
    floor (0.122329711914062 × 32768)
    floor (4008.5)     		tx = 4008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120376586914062 × 215)
    floor (0.120376586914062 × 32768)
    floor (3944.5)     		ty = 3944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4008 / 3944 ti = "15/4008/3944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4008/3944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4008 ÷ 215
    4008 ÷ 32768     		x = 0.122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3944 ÷ 215
    3944 ÷ 32768     		y = 0.120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.75537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37306828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120361328125 × 2 - 1) × π
    0.75927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38534012509399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37306828} λ = -2.37306828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38534012509399))-π/2
    2×atan(10.8627567328171)-π/2
    2×1.47899740034848-π/2
    2.95799480069696-1.57079632675     		φ = 1.38719847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37306828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38719847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.480618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4008 KachelY 3944 -2.37306828 1.38719847 -135.966797 79.480618
    Oben rechts KachelX + 1 4009 KachelY 3944 -2.37287653 1.38719847 -135.955810 79.480618
    Unten links KachelX 4008 KachelY + 1 3945 -2.37306828 1.38716346 -135.966797 79.478612
    Unten rechts KachelX + 1 4009 KachelY + 1 3945 -2.37287653 1.38716346 -135.955810 79.478612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38719847-1.38716346) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38719847-1.38716346) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37306828--2.37287653) × cos(1.38719847) × R
    0.000191749999999935 × 0.182568135774842 × 6371000     		do = 223.032400461801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37306828--2.37287653) × cos(1.38716346) × R
    0.000191749999999935 × 0.18260255725701 × 6371000     		du = 223.07445109546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38719847)-sin(1.38716346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182568135774842-0.18260255725701)×R²
    abs(-2.37287653--2.37306828)×3.44214821675348e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44214821675348e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44214821675348e-05×40589641000000     		ar = 49751.7788859803m²