Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40075 / 41162
↖ ↑ ↗
← S 41.812267°
E 40.138550°		 ← 455.24 m → S 41.812267°
E 40.144043°		 →
↑
455.21 m
↓
↑
455.21 m
↓
S 41.816361°
E 40.138550°		 ← 455.21 m →
207 222 m²		 S 41.816361°
E 40.144043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611503601074219 y=0.628089904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611503601074219 × 216)
    floor (0.611503601074219 × 65536)
    floor (40075.5)     		tx = 40075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628089904785156 × 216)
    floor (0.628089904785156 × 65536)
    floor (41162.5)     		ty = 41162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40075 / 41162 ti = "16/40075/41162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40075/41162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40075 ÷ 216
    40075 ÷ 65536     		x = 0.611495971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41162 ÷ 216
    41162 ÷ 65536     		y = 0.628082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611495971679688 × 2 - 1) × π
    0.222991943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70054985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.25616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.804764670821503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70054985} λ = 0.70054985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804764670821503))-π/2
    2×atan(0.447193151774626)-π/2
    2×0.42051729871639-π/2
    0.841034597432779-1.57079632675     		φ = -0.72976173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70054985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.138550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72976173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.812267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40075 KachelY 41162 0.70054985 -0.72976173 40.138550 -41.812267
    Oben rechts KachelX + 1 40076 KachelY 41162 0.70064572 -0.72976173 40.144043 -41.812267
    Unten links KachelX 40075 KachelY + 1 41163 0.70054985 -0.72983318 40.138550 -41.816361
    Unten rechts KachelX + 1 40076 KachelY + 1 41163 0.70064572 -0.72983318 40.144043 -41.816361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72976173--0.72983318) × R
    7.14499999999729e-05 × 6371000     		dl = 455.207949999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72976173--0.72983318) × R
    7.14499999999729e-05 × 6371000     		dr = 455.207949999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70054985-0.70064572) × cos(-0.72976173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745333276218558 × 6371000     		do = 455.240449688317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70054985-0.70064572) × cos(-0.72983318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745285639168169 × 6371000     		du = 455.211353560541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72976173)-sin(-0.72983318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745333276218558-0.745285639168169)×R²
    abs(0.70064572-0.70054985)×4.76370503886825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76370503886825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76370503886825e-05×40589641000000     		ar = 207222.44955378m²