Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40072 / 41288
↖ ↑ ↗
← S 42.326062°
E 40.122070°		 ← 451.57 m → S 42.326062°
E 40.127563°		 →
↑
451.58 m
↓
↑
451.58 m
↓
S 42.330124°
E 40.122070°		 ← 451.54 m →
203 912 m²		 S 42.330124°
E 40.127563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611457824707031 y=0.630012512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611457824707031 × 216)
    floor (0.611457824707031 × 65536)
    floor (40072.5)     		tx = 40072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630012512207031 × 216)
    floor (0.630012512207031 × 65536)
    floor (41288.5)     		ty = 41288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40072 / 41288 ti = "16/40072/41288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40072/41288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40072 ÷ 216
    40072 ÷ 65536     		x = 0.6114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41288 ÷ 216
    41288 ÷ 65536     		y = 0.6300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6114501953125 × 2 - 1) × π
    0.222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70026223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816844769525757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70026223} λ = 0.70026223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816844769525757))-π/2
    2×atan(0.441823512545852)-π/2
    2×0.416033588874915-π/2
    0.832067177749831-1.57079632675     		φ = -0.73872915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70026223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.122070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73872915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.326062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40072 KachelY 41288 0.70026223 -0.73872915 40.122070 -42.326062
    Oben rechts KachelX + 1 40073 KachelY 41288 0.70035810 -0.73872915 40.127563 -42.326062
    Unten links KachelX 40072 KachelY + 1 41289 0.70026223 -0.73880003 40.122070 -42.330124
    Unten rechts KachelX + 1 40073 KachelY + 1 41289 0.70035810 -0.73880003 40.127563 -42.330124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73872915--0.73880003) × R
    7.08800000001064e-05 × 6371000     		dl = 451.576480000678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73872915--0.73880003) × R
    7.08800000001064e-05 × 6371000     		dr = 451.576480000678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70026223-0.70035810) × cos(-0.73872915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		do = 451.570595344673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70026223-0.70035810) × cos(-0.73880003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73927715213001 × 6371000     		du = 451.54144316143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73872915)-sin(-0.73880003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739324880956086-0.73927715213001)×R²
    abs(0.70035810-0.70026223)×4.77288260756215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77288260756215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77288260756215e-05×40589641000000     		ar = 203912.077782683m²