Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40070 / 41318
↖ ↑ ↗
← S 42.447782°
E 40.111084°		 ← 450.74 m → S 42.447782°
E 40.116577°		 →
↑
450.68 m
↓
↑
450.68 m
↓
S 42.451835°
E 40.111084°		 ← 450.71 m →
203 136 m²		 S 42.451835°
E 40.116577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611427307128906 y=0.630470275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611427307128906 × 216)
    floor (0.611427307128906 × 65536)
    floor (40070.5)     		tx = 40070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630470275878906 × 216)
    floor (0.630470275878906 × 65536)
    floor (41318.5)     		ty = 41318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40070 / 41318 ti = "16/40070/41318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40070/41318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40070 ÷ 216
    40070 ÷ 65536     		x = 0.611419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41318 ÷ 216
    41318 ÷ 65536     		y = 0.630462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611419677734375 × 2 - 1) × π
    0.22283935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70007048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.26092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81972098350296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70007048} λ = 0.70007048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81972098350296))-π/2
    2×atan(0.440554559348867)-π/2
    2×0.414971390305551-π/2
    0.829942780611101-1.57079632675     		φ = -0.74085355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70007048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.111084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74085355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.447782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40070 KachelY 41318 0.70007048 -0.74085355 40.111084 -42.447782
    Oben rechts KachelX + 1 40071 KachelY 41318 0.70016636 -0.74085355 40.116577 -42.447782
    Unten links KachelX 40070 KachelY + 1 41319 0.70007048 -0.74092429 40.111084 -42.451835
    Unten rechts KachelX + 1 40071 KachelY + 1 41319 0.70016636 -0.74092429 40.116577 -42.451835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74085355--0.74092429) × R
    7.07400000000691e-05 × 6371000     		dl = 450.68454000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74085355--0.74092429) × R
    7.07400000000691e-05 × 6371000     		dr = 450.68454000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70007048-0.70016636) × cos(-0.74085355) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.73789275134777 × 6371000     		do = 450.742879241761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70007048-0.70016636) × cos(-0.74092429) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.737845005803234 × 6371000     		du = 450.713713805219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74085355)-sin(-0.74092429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73789275134777-0.737845005803234)×R²
    abs(0.70016636-0.70007048)×4.77455445352382e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77455445352382e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77455445352382e-05×40589641000000     		ar = 203136.275068403m²