Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40069 / 41205
↖ ↑ ↗
← S 41.988078°
E 40.105591°		 ← 453.99 m → S 41.988078°
E 40.111084°		 →
↑
454 m
↓
↑
454 m
↓
S 41.992160°
E 40.105591°		 ← 453.96 m →
206 103 m²		 S 41.992160°
E 40.111084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611412048339844 y=0.628746032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611412048339844 × 216)
    floor (0.611412048339844 × 65536)
    floor (40069.5)     		tx = 40069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628746032714844 × 216)
    floor (0.628746032714844 × 65536)
    floor (41205.5)     		ty = 41205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40069 / 41205 ti = "16/40069/41205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40069/41205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40069 ÷ 216
    40069 ÷ 65536     		x = 0.611404418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41205 ÷ 216
    41205 ÷ 65536     		y = 0.628738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611404418945312 × 2 - 1) × π
    0.222808837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69997461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628738403320312 × 2 - 1) × π
    -0.257476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.808887244188828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69997461} λ = 0.69997461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808887244188828))-π/2
    2×atan(0.445353360140763)-π/2
    2×0.418983064947484-π/2
    0.837966129894969-1.57079632675     		φ = -0.73283020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69997461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.105591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73283020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.988078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40069 KachelY 41205 0.69997461 -0.73283020 40.105591 -41.988078
    Oben rechts KachelX + 1 40070 KachelY 41205 0.70007048 -0.73283020 40.111084 -41.988078
    Unten links KachelX 40069 KachelY + 1 41206 0.69997461 -0.73290146 40.105591 -41.992160
    Unten rechts KachelX + 1 40070 KachelY + 1 41206 0.70007048 -0.73290146 40.111084 -41.992160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73283020--0.73290146) × R
    7.12600000000174e-05 × 6371000     		dl = 453.997460000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73283020--0.73290146) × R
    7.12600000000174e-05 × 6371000     		dr = 453.997460000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69997461-0.70007048) × cos(-0.73283020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.74328404599011 × 6371000     		do = 453.988804926867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69997461-0.70007048) × cos(-0.73290146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743236372876477 × 6371000     		du = 453.959686772102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73283020)-sin(-0.73290146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74328404599011-0.743236372876477)×R²
    abs(0.70007048-0.69997461)×4.76731136324071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76731136324071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76731136324071e-05×40589641000000     		ar = 206103.154608486m²