Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40068 / 41322
↖ ↑ ↗
← S 42.463993°
E 40.100097°		 ← 450.63 m → S 42.463993°
E 40.105591°		 →
↑
450.56 m
↓
↑
450.56 m
↓
S 42.468045°
E 40.100097°		 ← 450.60 m →
203 026 m²		 S 42.468045°
E 40.105591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611396789550781 y=0.630531311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611396789550781 × 216)
    floor (0.611396789550781 × 65536)
    floor (40068.5)     		tx = 40068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630531311035156 × 216)
    floor (0.630531311035156 × 65536)
    floor (41322.5)     		ty = 41322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40068 / 41322 ti = "16/40068/41322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40068/41322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40068 ÷ 216
    40068 ÷ 65536     		x = 0.61138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41322 ÷ 216
    41322 ÷ 65536     		y = 0.630523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69987873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.26104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.820104478699921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69987873} λ = 0.69987873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820104478699921))-π/2
    2×atan(0.44038564118308)-π/2
    2×0.414829919453023-π/2
    0.829659838906045-1.57079632675     		φ = -0.74113649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69987873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.100097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74113649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.463993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40068 KachelY 41322 0.69987873 -0.74113649 40.100097 -42.463993
    Oben rechts KachelX + 1 40069 KachelY 41322 0.69997461 -0.74113649 40.105591 -42.463993
    Unten links KachelX 40068 KachelY + 1 41323 0.69987873 -0.74120721 40.100097 -42.468045
    Unten rechts KachelX + 1 40069 KachelY + 1 41323 0.69997461 -0.74120721 40.105591 -42.468045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74113649--0.74120721) × R
    7.07199999999686e-05 × 6371000     		dl = 450.5571199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74113649--0.74120721) × R
    7.07199999999686e-05 × 6371000     		dr = 450.5571199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69987873-0.69997461) × cos(-0.74113649) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737701760519407 × 6371000     		do = 450.626212212112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69987873-0.69997461) × cos(-0.74120721) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737654013711786 × 6371000     		du = 450.597046004011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74113649)-sin(-0.74120721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737701760519407-0.737654013711786)×R²
    abs(0.69997461-0.69987873)×4.77468076208742e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77468076208742e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77468076208742e-05×40589641000000     		ar = 203026.277933904m²