Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40066 / 41867
↖ ↑ ↗
← S 44.633482°
E 40.089112°		 ← 434.65 m → S 44.633482°
E 40.094604°		 →
↑
434.69 m
↓
↑
434.69 m
↓
S 44.637391°
E 40.089112°		 ← 434.62 m →
188 931 m²		 S 44.637391°
E 40.094604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611366271972656 y=0.638847351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611366271972656 × 216)
    floor (0.611366271972656 × 65536)
    floor (40066.5)     		tx = 40066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638847351074219 × 216)
    floor (0.638847351074219 × 65536)
    floor (41867.5)     		ty = 41867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40066 / 41867 ti = "16/40066/41867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40066/41867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40066 ÷ 216
    40066 ÷ 65536     		x = 0.611358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41867 ÷ 216
    41867 ÷ 65536     		y = 0.638839721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611358642578125 × 2 - 1) × π
    0.22271728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69968699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638839721679688 × 2 - 1) × π
    -0.277679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.872355699285782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69968699} λ = 0.69968699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872355699285782))-π/2
    2×atan(0.417965786917966)-π/2
    2×0.395897551632078-π/2
    0.791795103264156-1.57079632675     		φ = -0.77900122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69968699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.089112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77900122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.633482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40066 KachelY 41867 0.69968699 -0.77900122 40.089112 -44.633482
    Oben rechts KachelX + 1 40067 KachelY 41867 0.69978286 -0.77900122 40.094604 -44.633482
    Unten links KachelX 40066 KachelY + 1 41868 0.69968699 -0.77906945 40.089112 -44.637391
    Unten rechts KachelX + 1 40067 KachelY + 1 41868 0.69978286 -0.77906945 40.094604 -44.637391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77900122--0.77906945) × R
    6.82300000000025e-05 × 6371000     		dl = 434.693330000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77900122--0.77906945) × R
    6.82300000000025e-05 × 6371000     		dr = 434.693330000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69968699-0.69978286) × cos(-0.77900122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711615604723847 × 6371000     		do = 434.646108306471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69968699-0.69978286) × cos(-0.77906945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711567666783088 × 6371000     		du = 434.616828398536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77900122)-sin(-0.77906945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711615604723847-0.711567666783088)×R²
    abs(0.69978286-0.69968699)×4.79379407589686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79379407589686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79379407589686e-05×40589641000000     		ar = 188931.40037438m²