Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40065 / 41865
↖ ↑ ↗
← S 44.625664°
E 40.083618°		 ← 434.75 m → S 44.625664°
E 40.089112°		 →
↑
434.76 m
↓
↑
434.76 m
↓
S 44.629573°
E 40.083618°		 ← 434.72 m →
189 004 m²		 S 44.629573°
E 40.089112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611351013183594 y=0.638816833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611351013183594 × 216)
    floor (0.611351013183594 × 65536)
    floor (40065.5)     		tx = 40065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638816833496094 × 216)
    floor (0.638816833496094 × 65536)
    floor (41865.5)     		ty = 41865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40065 / 41865 ti = "16/40065/41865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40065/41865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40065 ÷ 216
    40065 ÷ 65536     		x = 0.611343383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41865 ÷ 216
    41865 ÷ 65536     		y = 0.638809204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611343383789062 × 2 - 1) × π
    0.222686767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69959111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638809204101562 × 2 - 1) × π
    -0.277618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.872163951687302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69959111} λ = 0.69959111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872163951687302))-π/2
    2×atan(0.418045938538049)-π/2
    2×0.395965781518975-π/2
    0.791931563037949-1.57079632675     		φ = -0.77886476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69959111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.083618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77886476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.625664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40065 KachelY 41865 0.69959111 -0.77886476 40.083618 -44.625664
    Oben rechts KachelX + 1 40066 KachelY 41865 0.69968699 -0.77886476 40.089112 -44.625664
    Unten links KachelX 40065 KachelY + 1 41866 0.69959111 -0.77893300 40.083618 -44.629573
    Unten rechts KachelX + 1 40066 KachelY + 1 41866 0.69968699 -0.77893300 40.089112 -44.629573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77886476--0.77893300) × R
    6.82399999999417e-05 × 6371000     		dl = 434.757039999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77886476--0.77893300) × R
    6.82399999999417e-05 × 6371000     		dr = 434.757039999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69959111-0.69968699) × cos(-0.77886476) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.71171147066672 × 6371000     		do = 434.750005189961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69959111-0.69968699) × cos(-0.77893300) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.711663532326594 × 6371000     		du = 434.720721983946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77886476)-sin(-0.77893300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71171147066672-0.711663532326594)×R²
    abs(0.69968699-0.69959111)×4.79383401253974e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79383401253974e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79383401253974e-05×40589641000000     		ar = 189004.259929837m²