Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40065 / 41324
↖ ↑ ↗
← S 42.472097°
E 40.083618°		 ← 450.57 m → S 42.472097°
E 40.089112°		 →
↑
450.56 m
↓
↑
450.56 m
↓
S 42.476149°
E 40.083618°		 ← 450.54 m →
203 000 m²		 S 42.476149°
E 40.089112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611351013183594 y=0.630561828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611351013183594 × 216)
    floor (0.611351013183594 × 65536)
    floor (40065.5)     		tx = 40065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630561828613281 × 216)
    floor (0.630561828613281 × 65536)
    floor (41324.5)     		ty = 41324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40065 / 41324 ti = "16/40065/41324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40065/41324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40065 ÷ 216
    40065 ÷ 65536     		x = 0.611343383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41324 ÷ 216
    41324 ÷ 65536     		y = 0.63055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611343383789062 × 2 - 1) × π
    0.222686767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69959111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.2611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.820296226298401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69959111} λ = 0.69959111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820296226298401))-π/2
    2×atan(0.440301206389322)-π/2
    2×0.414759197760334-π/2
    0.829518395520668-1.57079632675     		φ = -0.74127793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69959111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.083618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74127793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.472097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40065 KachelY 41324 0.69959111 -0.74127793 40.083618 -42.472097
    Oben rechts KachelX + 1 40066 KachelY 41324 0.69968699 -0.74127793 40.089112 -42.472097
    Unten links KachelX 40065 KachelY + 1 41325 0.69959111 -0.74134865 40.083618 -42.476149
    Unten rechts KachelX + 1 40066 KachelY + 1 41325 0.69968699 -0.74134865 40.089112 -42.476149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74127793--0.74134865) × R
    7.07200000000796e-05 × 6371000     		dl = 450.557120000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74127793--0.74134865) × R
    7.07200000000796e-05 × 6371000     		dr = 450.557120000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69959111-0.69968699) × cos(-0.74127793) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737606263214923 × 6371000     		do = 450.567877542331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69959111-0.69968699) × cos(-0.74134865) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737558509029056 × 6371000     		du = 450.538706827218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74127793)-sin(-0.74134865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737606263214923-0.737558509029056)×R²
    abs(0.69968699-0.69959111)×4.77541858672215e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77541858672215e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77541858672215e-05×40589641000000     		ar = 202999.993818172m²