Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40064 / 41839
↖ ↑ ↗
← S 44.523926°
E 40.078125°		 ← 435.47 m → S 44.523926°
E 40.083618°		 →
↑
435.52 m
↓
↑
435.52 m
↓
S 44.527843°
E 40.078125°		 ← 435.44 m →
189 648 m²		 S 44.527843°
E 40.083618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611335754394531 y=0.638420104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611335754394531 × 216)
    floor (0.611335754394531 × 65536)
    floor (40064.5)     		tx = 40064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638420104980469 × 216)
    floor (0.638420104980469 × 65536)
    floor (41839.5)     		ty = 41839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40064 / 41839 ti = "16/40064/41839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40064/41839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40064 ÷ 216
    40064 ÷ 65536     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41839 ÷ 216
    41839 ÷ 65536     		y = 0.638412475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638412475585938 × 2 - 1) × π
    -0.276824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.869671232907059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869671232907059))-π/2
    2×atan(0.419089309374826)-π/2
    2×0.396853606416942-π/2
    0.793707212833883-1.57079632675     		φ = -0.77708911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77708911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.523926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40064 KachelY 41839 0.69949524 -0.77708911 40.078125 -44.523926
    Oben rechts KachelX + 1 40065 KachelY 41839 0.69959111 -0.77708911 40.083618 -44.523926
    Unten links KachelX 40064 KachelY + 1 41840 0.69949524 -0.77715747 40.078125 -44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 40065 KachelY + 1 41840 0.69959111 -0.77715747 40.083618 -44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77708911--0.77715747) × R
    6.83599999999895e-05 × 6371000     		dl = 435.521559999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77708911--0.77715747) × R
    6.83599999999895e-05 × 6371000     		dr = 435.521559999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69959111) × cos(-0.77708911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71295769226698 × 6371000     		do = 435.465838964085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69959111) × cos(-0.77715747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 435.436560131687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77708911)-sin(-0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71295769226698-0.712909756087121)×R²
    abs(0.69959111-0.69949524)×4.79361798589872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79361798589872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79361798589872e-05×40589641000000     		ar = 189648.385804755m²