Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40062 / 9454
↖ ↑ ↗
← N 77.788515°
E 40.067139°		 ← 129.21 m → N 77.788515°
E 40.072632°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 77.787353°
E 40.067139°		 ← 129.22 m →
16 695 m²		 N 77.787353°
E 40.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611305236816406 y=0.144264221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611305236816406 × 216)
    floor (0.611305236816406 × 65536)
    floor (40062.5)     		tx = 40062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144264221191406 × 216)
    floor (0.144264221191406 × 65536)
    floor (9454.5)     		ty = 9454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40062 / 9454 ti = "16/40062/9454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40062/9454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40062 ÷ 216
    40062 ÷ 65536     		x = 0.611297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9454 ÷ 216
    9454 ÷ 65536     		y = 0.144256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611297607421875 × 2 - 1) × π
    0.22259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69930349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144256591796875 × 2 - 1) × π
    0.71148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23520175548398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69930349} λ = 0.69930349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23520175548398))-π/2
    2×atan(9.34836774640457)-π/2
    2×1.46423101300039-π/2
    2.92846202600078-1.57079632675     		φ = 1.35766570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69930349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35766570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.788515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40062 KachelY 9454 0.69930349 1.35766570 40.067139 77.788515
    Oben rechts KachelX + 1 40063 KachelY 9454 0.69939937 1.35766570 40.072632 77.788515
    Unten links KachelX 40062 KachelY + 1 9455 0.69930349 1.35764542 40.067139 77.787353
    Unten rechts KachelX + 1 40063 KachelY + 1 9455 0.69939937 1.35764542 40.072632 77.787353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35766570-1.35764542) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35766570-1.35764542) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69930349-0.69939937) × cos(1.35766570) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211520723093959 × 6371000     		do = 129.20774675253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69930349-0.69939937) × cos(1.35764542) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211540544185302 × 6371000     		du = 129.219854495512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35766570)-sin(1.35764542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211520723093959-0.211540544185302)×R²
    abs(0.69939937-0.69930349)×1.98210913431029e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98210913431029e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98210913431029e-05×40589641000000     		ar = 16694.9243906608m²